a) Ta có:

$ΔABC$ cân tại $A$ có $\widehat{A} = 36^o$

$\Rightarrow \widehat{B} = \widehat{C} = 72^o$

Lại có: $CD$ là phân giác của $\widehat{C}$

$\Rightarrow \widehat{ACD} = \widehat{BCD} = \dfrac{1}{2}\widehat{C} = 36^o$

$\Rightarrow \widehat{DAC} = \widehat{ACD} = 36^o$

$\Rightarrow ΔDAC$ cân tại $D$

$\Rightarrow DA = DC$

Xét $ΔBCD$ có:

$\widehat{BCD} = 36^o$

$\widehat{CBD} = 72^o$

$\Rightarrow \widehat{BDC} = 180^o - (\widehat{BCD} + \widehat{CBD}) = 72^o$

$\Rightarrow ΔBCD$ cân tại $C$

$\Rightarrow CD = CB$

Do đó $AD = DC = CB = 1 \,cm$

b) Áp dụng tính chất đường phân giác, ta có:

$\dfrac{BD}{AD} = \dfrac{BC}{AC}$

$\Leftrightarrow \dfrac{BD}{AD} = \dfrac{BC}{AB}$

$\Leftrightarrow \dfrac{BD}{AD} = \dfrac{BC}{AD + BD}$

$\Leftrightarrow \dfrac{BD}{1} = \dfrac{1}{1 + BD}$

$\Leftrightarrow BD(1 + BD) = 1$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}BD = \dfrac{\sqrt5 - 1}{2}\\BD = \dfrac{-\sqrt5 - 1}{2} \quad(loại)\end{array}\right.$

$\Rightarrow BD = \dfrac{\sqrt5 - 1}{2}\, cm$

Ta có:

$ΔBCD$ cân tại $C$ có: $CK\perp BD$

$\Rightarrow BK = KD = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}$

Ta cũng được:

$\widehat{BCK} = \widehat{DCK} = \dfrac{1}{2}\widehat{BCD} = 18^o$

Áp dụng định lý Pytago, ta được:

$BC^2= CK^2 + BK^2$
$\Rightarrow CK = \sqrt{BC^2  - BK^2} = \sqrt{\dfrac{5 + \sqrt5}{8}}\, cm$

Do đó:

$ΔBCK$ có:

$\begin{cases}\widehat{B} = 72^o\\\widehat{C} = 18^o\\\widehat{K} = 90^o\\BC = 1\, cm\\BK = \dfrac{\sqrt5 - 1}{4}\, cm\\CK = \sqrt{\dfrac{5 + \sqrt5}{8}}\, cm\end{cases}$

c) Ta có: $BD = \dfrac{\sqrt5 - 1}{2}$

$\Rightarrow AB = AC = BD + AD = \dfrac{\sqrt5 - 1}{2} + 1 = \dfrac{\sqrt5 + 1}{2}$

Ta được:

$\cos\widehat{A} = \dfrac{AH}{AD}$

$\Leftrightarrow \cos\widehat{A} = \dfrac{\dfrac{1}{2}AC}{AD}$ ($ΔADC$ cân tại $D$)

$\Leftrightarrow \cos36^o = \dfrac{\dfrac{\sqrt5 + 1}{4}}{1} = \dfrac{\sqrt5 + 1}{4}$