a) Ta có:
$AB^2+AD^2=6^2+8^2=100=10^2=BD^2$
Theo định lý Pitago đảo $\Rightarrow \Delta ABC\bot A$
Áp dụng hệ thức lượng vào $\Delta $ vuông $ABC$ có:
$\dfrac{1}{AB^2}+\dfrac{1}{AD^2}=\dfrac{1}{AM^2}$
$\Rightarrow\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{8^2}=\dfrac{1}{AM^2}$
$\Rightarrow AM=4,8$
Áp dụng định lý Pitago vào $\Delta $ vuông $ABM$ có:
$MB^2=AB^2-AM^2=6^2-4,8^2=12,96$
$\Rightarrow MB=3,6$
b) Do $Bx\parallel AD\Rightarrow Bx\bot AB$
Áp dụng hệ thức lượng trong $\Delta $ vuông $ABC$ có:
$AB^2=AM.AC$
Trong $\Delta ABD$ có:
$AB^2=BM.BD$
$\Rightarrow AM.AC=BM.BD$ (đpcm)
c) Xét $\Delta MCI$ và $\Delta MDA$ có:
$\widehat{CMI}=\widehat{DAM}=90^o$
$\widehat{MCI}=\widehat{MDA}$ (cùng phụ $\widehat{CAD}$)
$\Rightarrow \Delta MCI$ đồng dạng $\Delta MDA$(g.g)
$\Rightarrow \dfrac{MI}{MA}=\dfrac{MC}{MD}$
$\Rightarrow MI.MD=MA.MC$
Mà $\Delta $ vuông $ABC$ có:
$BM^2=AM.AC$
$\Rightarrow BM^2=MI.MD$
d) Dựng $MK\bot AD$
Ta có: $S_{AME}=\dfrac{1}{2}MK.AE$
$S_{ADC}=\dfrac{1}{2}CE.AD$
$\Rightarrow \dfrac{S_{AME}}{S_{ADC}}=\dfrac{MK.AE}{CE.AD}$
Tính các cạnh
$MD=BD-BM=10-3,6=6,4$
$\Delta AMD$ có: $\dfrac{1}{MK^2}=\dfrac{1}{AM^2}+\dfrac{1}{MD^2}=\dfrac{1}{4,8^2}+\dfrac{1}{6,4^2}=\dfrac{625}{9216}$
$\Rightarrow MK=3,84$
Ta có: $\widehat{ADB}=\widehat{DBC}$ (so le trong)
$\Rightarrow \cos \widehat{ADB}=\cos \widehat{DBC}$
$\Rightarrow\dfrac{AD}{BD}=\dfrac{BM}{BC}$
$\Rightarrow BC=\dfrac{BM.BD}{AD}=\dfrac{3,6.10}{8}=4,5=AE$
$CE=AB=6$
$\Rightarrow \dfrac{S_{AME}}{S_{ADC}}=\dfrac{MK.AE}{CE.AD}=\dfrac{3,84.4,5}{6.8}=\dfrac{9}{25}$ (đpcm)
