Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{AB}}{{AF}} = \dfrac{{AC}}{{AG}} = \dfrac{1}{3};B \in AF;C \in AG\\
 \Rightarrow BC//FG
\end{array}$

b)+) Ta có:

$B,C$ lần lượt là trung điểm của $AD,AE$

$\to BC$ là đường trung bình của tam giác $ADE$

$\to BC//DE; BC=dfrac{DE}{2}=4$

+) Ta có:

$ \Rightarrow BC//FG \Rightarrow \dfrac{{BC}}{{FG}} = \dfrac{{AB}}{{AF}} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow FG = 3BC = 12$

Vậy $BC = 4;FG = 12$

c) Ta có:

$\begin{array}{l}
\dfrac{{AF}}{{AK}} = \dfrac{{AG}}{{AP}} = \dfrac{3}{4};K \in AF;P \in AG\\
 \Rightarrow FG//KP
\end{array}$

d) Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}
FG//BC\\
BC//DE
\end{array} \right. \Rightarrow FG//DE \Rightarrow IG//DE$

Lại có:

$G$ là trung điểm của $EP$; $IG//DE$ và $I\in DP$

$\to IG$ là đường trung bình của tam giác $DEP$.

$\to I$ là trung điểm của $DP$.

Ta có:

$I,E$ lần lượt là trung điểm của $DP,AP$.

$\to IE$ là đường trung bình của tam giác $ADP$.

$\to IE//AD \to IE//AK$

Lại có:

$IE//AK\to IE//DF$

Mà $DE//FG \to DE//IF$ 

Suy ra: $IEDF$ là hình bình hành.

$\to IF=DE$

Mặt khác ở câu b ta có: $DE=2BC$

Như vậy $IF=2BC$

e) Ta có:

$B,E$ lần lượt là trung điểm của $AD,AP$

$\to BE$ là đường trung bình của tam giác $ADP$

$\to BE//DP \to TE//DU$

Lại có:

$D,C$ lần lượt là trung điểm của $AK,AE$

$\to DC$ là đường trung bình của tam giác $AKE$

$\to DC//KE \to DT//UE$

Xét tứ giác $DTEU$ có:

$\left\{ \begin{array}{l}
TE//DU\\
DT//UE
\end{array} \right.$

$\to DTEU$ là hình bình hành.

$\to DT=EU$