Cho hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) cạnh \(a\). \(A’C’\) giao với \(B’D’\) tại điểm \(O\). Tính thể tích khối nón có đỉnh \(O\), đáy là đường tròn \((C)\) nội tiếp \(ABCD\).
A.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{6}\)
B.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{12}\)
C.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{4}\)
D.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{16}\)

Hình lập phương \(ABCD.A’B’C’D’\) cạnh \(a\). Tính thể tích khối trụ nội tiếp trong hình lập phương đó.
A.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{4}\)   
B.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{2}\)    
C. \(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{8}\)   
D. \(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{16}\)

Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn \(a + b \le 4\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S = \frac{1}{{{a^2} + {b^2}}} + \frac{{25}}{{ab}} + ab\)
A.\({S_{\min }} = \frac{{33}}{8}\)
B.\({S_{\min }} = \frac{{83}}{8}\)
C.\({S_{\min }} = \frac{{83}}{3}\)
D.\({S_{\min }} = \frac{{83}}{5}\)

a) \(A = \sqrt {45} + \sqrt {20} - 2\sqrt 5 .\)
b) \(B = \frac{{a + 2\sqrt a }}{{\sqrt a + 2}} - \frac{{a - 4}}{{\sqrt a - 2}}\) (với \(a \ge 0,\;\;a \ne 4\)).
A.\(\begin{array}{l}A = 3\sqrt 5 \\B = - 2\end{array}\)
B.\(\begin{array}{l}A = 3\sqrt 5 \\B = - 4\end{array}\)
C.\(\begin{array}{l}A = 5\sqrt 5 \\B = - 2\end{array}\)
D.\(\begin{array}{l}A = 3\sqrt 3 \\B = - 2\end{array}\)

Cho hình chóp \(S.ABC\). \(\left( SAB \right)\bot \left( ABC \right).\,\) \(DSAB\) đều, \(DABC\) đều, \(AB = a\). Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp chóp \(S.ABC\).
A.\(\dfrac{a\sqrt{15}}{4}\)
B.\(\dfrac{a\sqrt{15}}{5}\)
C.\(\dfrac{a\sqrt{15}}{6}\)
D.\(\dfrac{a\sqrt{15}}{7}\)

Tứ diện gần đều \(ABCD\), \(AB = CD = 4, \,AC = BD = 5,\, AD = BC = 6\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \(ABCD\).
A.\(\dfrac{\sqrt{77}}{4}\)
B.\(\dfrac{\sqrt{77}}{\sqrt{2}}\)
C.\(\dfrac{\sqrt{77}}{2}\)
D. \(\dfrac{\sqrt{77}}{2\sqrt{2}}\)

Cho phương trình \({x^2} + 4x + m + 1 = 0\,\,\,(1)\) (với m là tham số).
a) Giải phương trình (1) với m = 2.
b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.
c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình (1) có hai nghiệm \({x_1};{x_2}\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{{{x_1} - 1}}{{2{x_2}}} - \frac{{{x_2} - 1}}{{2{x_1}}} = - 3\).
A.a)\({x_1} =  - 1,\,\,{x_2} =  - 3\).
b)\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\).
c)\(m =  - 2\) hoặc \(m = \frac{{11}}{9}\).
B.a)\({x_1} =  - 1,\,\,{x_2} =  - 3\).
b)\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\).
c)\(m =  - 6\) hoặc \(m = \frac{{11}}{13}\).
C.a)\({x_1} =  - 1,\,\,{x_2} =  - 3\).
b)\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\).
c)\(m =  - 9\) hoặc \(m = \frac{{11}}{9}\).
D.a)\({x_1} =  - 1,\,\,{x_2} =  - 3\).
b)\(\Delta ' \ge 0 \Leftrightarrow 3 - m \ge 0 \Leftrightarrow m \le 3\).
c)\(m =  - 6\) hoặc \(m = \frac{{11}}{9}\).

Có một cái cốc hình nón đường kính đáy bằng \(10\), đường sinh bằng \(8\). Người ta thả một viên bi hình cầu vào cốc sao cho không phần nào của viên bi cao hơn miệng cốc. Hỏi bán kính \(R\) lớn nhất của viên bi là bao nhiêu?
A.\(\dfrac{5\sqrt{39}}{13}\)      
B.\(\dfrac{\sqrt{39}}{13}\)        
C.\(\dfrac{5}{13}\)
D.\(\dfrac{3\sqrt{39}}{13}\)

Chóp đều \(S.ABC\), có \(AB = a\). Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng \({{60}^{0}}\). Tính thể tích khối nón nội tiếp trong chóp \(S.ABC\).
A.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{36}\)  
B.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{32}\) 
C.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{72}\)
D.\(\dfrac{\pi {{a}^{3}}}{64}\)

Cho hình nón có đường cao bằng \(8\) nội tiếp trong cầu có bán kính \(R\) bằng \(5\). Tính tỉ số thể tích giữa nón và cầu.
A.\(\dfrac{37}{125}\)
B.\(\dfrac{34}{125}\) 
C.\(\dfrac{33}{125}\)    
D.\(\dfrac{32}{125}\)