Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(\Delta {\rm{ }}SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\) có diện tích \(84\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BD\) là A.\(\frac{{3\s

Khanh2904

2 năm trước

Cho khối chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông, \(\Delta {\rm{ }}SAB\) đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy. Mặt cầu ngoại tiếp khối chóp \(S.ABCD\) có diện tích \(84\pi {\rm{ c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SA\) và \(BD\) là
A.\(\frac{{3\sqrt {21} }}{7}\;{\rm{cm}}\).
B.\(\frac{{2\sqrt {21} }}{7}\;{\rm{cm}}\).
C.\(\frac{{\sqrt {21} }}{7}\;{\rm{cm}}\).
D.\(\frac{{6\sqrt {21} }}{7}\;{\rm{cm}}\).

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 24 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

hehegod

Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:
Đặt \(a\)(cm) là độ dài các cạnh của hình vuông ABCD và tam giác đều SAB.
Gọi O là tâm hình vuông ABCD, G là trọng tâm tam giác SAB, N là trung điểm của AB
Tam giác SAB đều \( \Rightarrow SN \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SN \bot NO\)
Dựng hình chữ nhật \(NOIG\), khi đó:
\(IO//GN \Rightarrow IO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow IA = IB = IC = ID\)
Mặt khác \(IG//NO\) mà \(NO \bot \left( {SAB} \right),\,\,\left( {do\,\,NO \bot AB,\,\,NO \bot SN} \right)\)
\(GI \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow IS = IA = IB\) (do G là trọng tâm và cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác đều SAB)
\( \Rightarrow IA = IB = IC = ID = IS \Rightarrow I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABCD, mặt cầu này có bán kính: \(R = IA = \sqrt {I{G^2} + A{G^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{{a^2}}}{3}} = \sqrt {\frac{7}{{12}}} .a\)
Diện tích mặt cầu: \(4\pi {R^2} = 4\pi .\frac{7}{{12}}{a^2} = \frac{7}{3}\pi {a^2} = 84\pi \,\, \Rightarrow {a^2} = 36 \Leftrightarrow a = 6\,\,(cm)\)
*) Gọi M là trung điểm của SC.
Tính \({V_{S.ABCD}}\), từ đó suy ra thể tích khối chóp S.BMD:
\({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SN.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6} = \frac{{{6^3}\sqrt 3 }}{6} = 36\sqrt 3 \,\,\left( {c{m^3}} \right)\)
\(\frac{{{V_{S.BMD}}}}{{{V_{S.BCD}}}} = \frac{{SM}}{{SC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{S.BMD}} = \frac{1}{2}{V_{S.BCD}} = \frac{1}{4}{V_{S.ABCD}} = \frac{1}{4}.36\sqrt 3 = 9\sqrt 3 \left( {c{m^3}} \right)\)
*) Tính diện tích tam giác BMD:
Ta có: \(MO = \frac{1}{2}SA = \frac{a}{2}\), \(OB = OD = \frac{{BD}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\\BC \bot SN\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow BC \bot SB \Rightarrow \Delta SBC\) vuông cân tại B.
Có \(SB = BC = a \Rightarrow BM = \frac{{SC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \Delta BOM\)cân tại B
Gọi H là trung điểm của OM \( \Rightarrow BH = \sqrt {B{O^2} - O{H^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{a}{4}} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 7 }}{4}a\)
\({S_{BOM}} = \frac{1}{2}.BH.OM = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 7 }}{4}a.\frac{a}{2} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{{16}} \Rightarrow {S_{BDM}} = 2{S_{\Delta BOM}} = 2.\frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{{16}} = \frac{{{a^2}\sqrt 7 }}{8} = \frac{{{6^2}\sqrt 7 }}{8} = \frac{{9\sqrt 7 }}{2}\,\,\left( {c{m^2}} \right)\)
*) Ta có: \(MO//SA \Rightarrow SA//\left( {BMD} \right) \Rightarrow d\left( {SA;BD} \right) = d\left( {SA;\left( {BMD} \right)} \right) = d\left( {A;\left( {BMD} \right)} \right)\)
Mà \(\left\{ \begin{array}{l}AC \cap \left( {BMD} \right) = O\\OA = OC\end{array} \right. \Rightarrow d\left( {A;\left( {BMD} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {BMD} \right)} \right)\)
Ta có: \({V_{M.CBD}} = \frac{1}{3}.d\left( {C;\left( {BMD} \right)} \right).{S_{BMD}} \Rightarrow \frac{1}{3}.d\left( {C;\left( {BMD} \right)} \right).\frac{{9\sqrt 7 }}{2} = 9\sqrt 3 \)
\( \Leftrightarrow d\left( {C;\left( {BMD} \right)} \right) = \frac{{6\sqrt 3 }}{{\sqrt 7 }} = \frac{{6\sqrt {21} }}{7}\,\,\left( {cm} \right) \Rightarrow d\left( {SA;BD} \right) = \frac{{6\sqrt {21} }}{7}\,\,cm\).
Chọn: D

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Tìm các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \frac{{{x^3}}}{3} - 3{x^2} + {m^2}x + 2m - 3\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
A.\(\left[ \begin{array}{l}m 3\end{array} \right.\)
B.\( - 3 \le m \le 3\).
C.\( - 3 < m < 3\).
D.\(\left[ \begin{array}{l}m \le - 3\\m \ge 3\end{array} \right.\).

Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào?
A.\(y = - {x^4} - 2{x^2}\)
B.\(y = - {x^4} + 3{x^2} + 1\)
C.\(y = - {x^4} + 4{x^2}\)
D.\(y = {x^4} - 3{x^2}\)

Mỗi cạnh của một hình đa diện là cạnh chung của đúng \(n\) mặt của hình đa diện đó. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.\(n = 2\).
B.\(n = 5\).
C.\(n = 3\).
D.\(n = 4\).

Hình vẽ sau đây là đồ thị của hàm số nào ?
A.\(y = \frac{{x + 2}}{{x + 1}}\).
B.\(y = \frac{{x + 3}}{{1 - x}}\).
C.\(y = \frac{{2x + 1}}{{2x - 1}}\).
D.\(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\).

Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề sai?
A.Với \(0 < a < 1\), hàm số \(y = {\log _a}x\) là một hàm nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
B.Với \(a > 1\), hàm số \(y = {\log _a}x\) là một hàm đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
C.Với \(a > 1\), hàm số \(y = {a^x}\) là một hàm đồng biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).
D.Với \(0 < a < 1\), hàm số \(y = {a^x}\) là một hàm nghịch biến trên khoảng \(\left( { - \infty ; + \infty } \right)\).

Cho tứ diện \(ABCD\) có tam giác \(BCD\) vuông tại \(B,AC\) vuông góc với mặt phẳng\(\left( {BCD} \right)\), \(AC = 5a,BC = 3a\) và\(BD = 4a\). Tính bán kính \(R\) của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện\(ABCD\).
A.\(R = \frac{{5a\sqrt 3 }}{2}\).
B.\(R = \frac{{5a\sqrt 2 }}{3}\).
C.\(R = \frac{{5a\sqrt 3 }}{3}\).
D.\(R = \frac{{5a\sqrt 2 }}{2}\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như hình bên. Tìm giá trị cực đại và giá trị cực tiểu của hàm số đã cho
A.\({y_{CD}} = 3\) và \({y_{CT}} = 0\).
B.\({y_{CD}} = 2\) và \({y_{CT}} = - 2\).
C.\({y_{CD}} = - 2\) và \({y_{CT}} = 2\).
D.\({y_{CD}} = 0\) và \({y_{CT}} = 3\).

Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB = 6,{\rm{ }}BC = 8,{\rm{ }}AC = 10\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = 4\). Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABC\).
A.\(V = 40\).
B.\(V = 32\).
C.\(V = 192\).
D.\(V = 24\).

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), bảng biến thiên như sau. Kết luận nào sau đây đúng.
A.Hàm số có ba điểm cực trị.
B.Hàm số có hai điểm cực trị.
C.Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\).
D.Hàm số đạt cực đại tại \(x = 2\).

Cho hàm số \(y = \left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 2} \right)\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A.\(\left( C \right)\)không cắt trục hoành.
B.\(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại một điểm.
C.\(\left( C \right)\)cắt trục hoành tại ba điểm.
D.\(\left( C \right)\)cắt trục hoành tại hai điểm.

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến