Lời giải:
Ta có: `a^100 + b^100 = a^101 + b^101`
`⇒ a^101 - a^100 = b^100 - b^101`
`⇒ a^100(a - 1) = b^100(1 - b)`
`⇒ a^100(a - 1) - b^100(1 - b) = 0` (1)
Lại có: `a^101 + b^101 = a^102 + b^102`
`⇒ a^102 - a^101 = b^101 - b^102`
`⇒ a^101(a - 1) = b^101(1 - b)`
`⇒ a^101(a - 1) - b^101(1 - b) = 0` (2)
(2) - (1) `⇒ a^101(a - 1) - b^101(1 - b) - a^100(a - 1) + b^100(1 - b) = 0`
`⇒ (a^101 - a^100)(a - 1) - (b^101 - b^100)(1 - b) = 0`
`⇒ a^100(a - 1)^2 - b^100(b - 1)(1 - b) = 0`
`⇒ a^100(a - 1)^2 + b^100(b - 1)^2 = 0` (3)
Vì `a^100(a - 1)^2 ≥ 0` ; `b^100(b - 1)^2 ≥ 0` với mọi `a, b` thực dương
`⇒ a^100(a - 1)^2 + b^100(b - 1)^2 ≥ 0`
mà theo (3), `a^100(a - 1)^2 + b^100(b - 1)^2 = 0`
`⇒ a^100(a - 1)^2 = 0` và `b^100(b - 1)^2 = 0`
`⇒ a - 1 = 0` và `b - 1 = 0`
`⇒ a = 1` và `b = 1`
Do đó, `M = 1^2019 + 1^2019 = 2`
Vậy `M = 2`.
