Giải thích các bước giải:
a,
Áp dụng định lí Pi-ta-go vào tam giác ABD vuông tại A có AB=AD=10 (cm) nên ta có:
\(\begin{array}{l}
B{D^2} = A{B^2} + A{D^2}\\
\Rightarrow B{D^2} = {10^2} + {10^2}\\
\Rightarrow BD = 10\sqrt 2 \left( {cm} \right)
\end{array}\)
b,
Tam giác ABC có AB=AC=10 (cm) và \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên tam giác ABC là tam giác đều
Do đó, H là trung điểm AC và BH⊥AC
Áp dụng định lí Pi - ta - go vào tam giác ABH vuông tại H ta có:
\(\begin{array}{l}
AH = HC = \frac{{AC}}{2} = 5\left( {cm} \right)\\
BH = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}} = 5\sqrt 3 \left( {cm} \right)
\end{array}\)
Tam giác ABC là tam giác đều nên \(\widehat {BAC} = 60^\circ \Rightarrow \widehat {DAC} = 30^\circ \)
Tam giác ADK vuông tại K có \(\widehat {DAK} = 30^\circ \) nên \(DK = \frac{1}{2}AD = 5\left( {cm} \right)\)
c,
\(\begin{array}{l}
AK = \sqrt {A{D^2} - D{K^2}} = \sqrt {{{10}^2} - {5^2}} = 5\sqrt 3 \left( {cm} \right)\\
AK > AH \Rightarrow HK = 5\sqrt 3 - 5 = 5\left( {\sqrt 3 - 1} \right)\left( {cm} \right)
\end{array}\)
d,
Tam giác ADC cân tại A (do AD=AC) nên \(\widehat {ADC} = \widehat {ACD} = \frac{{180^\circ - \widehat {DAC}}}{2} = 75^\circ \)
Suy ra \(\widehat {BCD} = \widehat {ACD} + \widehat {ACB} = 75^\circ + 60^\circ = 135^\circ \Rightarrow \widehat {BCE} = 45^\circ \)
Do đó, tam giác BCE vuông cân tại E
Suy ra \(BE = CE = \frac{{BC}}{{\sqrt 2 }} = 5\sqrt 2 \left( {cm} \right)\)
\(DC = \sqrt {D{K^2} + K{C^2}} = \sqrt {{5^2} + {{\left( {10 - 5\sqrt 3 } \right)}^2}} \)
