Câu 1
Ta có
$y' = 4x^3 + 4mx = 4x(x^2 + m)$
Xét ptrinh y' = 0
$4x(x^2 + m) = 0$
Để hso có 3 cực trị thì ptrinh $y' = 0$ phải có 3 nghiệm pbiet, tức là ptrinh $x^2 + m = 0$ phải có 2 nghiệm pbiet khác 0 và do đó $m \neq 0$.
Để ptrinh $x^2 + m = 0$ có 2 nghiệm pbiet thì -m > 0 hay m < 0.
Khi đó, tọa độ 3 điêm cực trị của hso là
$A(0, 1), B(\sqrt{-m}, 1-m^2), C(-\sqrt{-m}, 1 - m^2)$
Ta thấy rằng A nằm trên trục Oy, B và C đối xứng vs nhau qua trục Oy, do đó tam giác ABC cân.
Hơn nữa, tam giác ABC chỉ có thể vuông tại A. Ta có
$\vec{AB} = (\sqrt{-m}, -m^2), \vec{AC} = (-\sqrt{-m}, -m^2)$
Do $AB \perp AC$ nên
$\vec{AB} . \vec{AC} = 0$
$<-> m + m^4 = 0$
$<-> m(m^3 + 1) = 0$
Vậy $m = -1$ hoặc $m = 0$ (loại).
Vậy $m = -1$.
Câu 2.
Ta có
$y' = 4x^3 - 4mx = 4x(x^2 -m)$
Xét ptrinh $y' = 0$
$4x(x^2-m) = 0$
Để hso có 3 cực trị thì ptrinh $y' = 0$ phải có 3 nghiệm phân biệt, do đó ptrinh $x^2-m = 0$ phải có 2 nghiệm phân biệt khác 0, tức là m >0.
Khi đó, tọa độ 3 điểm cực trị là
$A(0,0), B(\sqrt{m}, -m^2), C(-\sqrt{m}, -m^2)$
Ta có A nằm trên Oy, B và C đối xứng qua Oy, do đó tam giác ABC cân tại A.
Hơn nữa, để ý rằng tung độ của B và C đều nhỏ hơn 0 nên B và C nằm dưới trục Ox.
Ta có
$BC^2 = 4m$. Vậy $BC = 2\sqrt{m}$
Vậy diện tích tam giác ABC là
$S_{ABC} = \dfrac{1}{2} . BC . d(A, BC) = \dfrac{1}{2} .2\sqrt{m} . |-m^2|$
$= \sqrt{m} . m^2$
Theo đề bài ta có
$m^2 . \sqrt{m} < 1$
$<-> m^{\dfrac{5}{2}}<1$
$<-> m < 1$
Kết hợp ddkien ở trên ta có $0 < m < 1$
