Tổng tất cả các giá trị nguyên âm của tham số m để hàm số \(y = {x^3} + mx - \frac{3}{{28{x^2}}}\), đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) bằng: A.-15 B.-6 C.-3 D.-10
Đáp án đúng: C Giải chi tiết:TXĐ: \(D = R\backslash \left\{ 0 \right\}\). Ta có \(y' = 3{x^2} + m - \frac{3}{{28}}\left( { - 2\frac{1}{{{x^3}}}} \right) = 3{x^2} + m + \frac{3}{{14{x^3}}}\). Để hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) thì \(y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\) và bằng 0 tại hữu hạn điểm. \(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} + m + \frac{3}{{14{x^3}}} \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow 3{x^2} + \frac{3}{{14{x^3}}} \ge - m\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array}\) Đặt \(f\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{3}{{14{x^3}}} \Rightarrow f\left( x \right) \ge - m\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow - m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} f\left( x \right)\). Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3{x^2} + \frac{3}{{14{x^3}}}\) trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) ta có: \(f'\left( x \right) = 6x + \frac{3}{{35}}.\left( { - \frac{3}{{{x^4}}}} \right) = 6x - \frac{9}{{14{x^4}}} = 0 \Leftrightarrow 6x = \frac{9}{{14{x^4}}} \Leftrightarrow {x^5} = \frac{3}{{28}} \Leftrightarrow x = \sqrt[5]{{\frac{3}{{28}}}}\). BBT:
\(\Rightarrow - m \le 2,05 \Leftrightarrow m \ge - 2,05\). Mà m là số nguyên âm \(\Rightarrow m \in \left\{ { - 2; - 1} \right\}\). Vậy tổng các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán là -2 – 1 = -3. Chọn C.