Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là \(\frac{\pi }{3}.\) Một khối cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) nội tiếp trong khối nón. Gọi \({S_2}\) là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với \({S_1};{S_3}\) là khối tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón với \({S

anhxinhgai134

2 năm trước

Cho khối nón có độ lớn góc ở đỉnh là \(\frac{\pi }{3}.\) Một khối cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) nội tiếp trong khối nón. Gọi \({S_2}\) là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với \({S_1};{S_3}\) là khối tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón với \({S_2};...;{S_n}\) là khối cầu tiếp xúc với tất cả các đường sinh của nón và với \({S_{n - 1}}.\) Gọi \({V_1},{V_2},{V_3},...,{V_{n - 1}},{V_n}\) lần lượt là thể tích của khối cầu \({S_1},{S_2},{S_3},...,{S_{n - 1}},{S_n}\) và \(V\) là thể tích của khối nón. Tính giá trị của biểu thức \(T = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{V_1} + {V_2} + ... + {V_n}}}{V}\)
A.\(\frac{3}{5}\)
B.\(\frac{6}{{13}}\)
C.\(\frac{7}{9}\)
D. \(\frac{1}{2}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 36 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

uyen87517

Đáp án đúng: B
Giải chi tiết:Thiết diện qua trục của hình nón là một tam giác đều cạnh \(l\).
Do đó bán kính đường tròn nội tiếp tam giác cũng chính là bán kính mặt cầu nội tiếp chóp là \({r_1} = \frac{1}{3}\frac{{l\sqrt 3 }}{2} = \frac{{l\sqrt 3 }}{6}\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\frac{{AA'}}{{AB}} = \frac{{AH'}}{{AH}} = \frac{{AH - HH'}}{{AH}} = \frac{{\frac{{l\sqrt 3 }}{2} - \frac{{l\sqrt 3 }}{3}}}{{\frac{{l\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{3} \Rightarrow AA' = \frac{l}{3}\)

Tương tự ta tìm được \({r_2} = \frac{l}{3}.\frac{{\sqrt 3 }}{6} = \frac{{l\sqrt 3 }}{{18}} = \frac{{{r_1}}}{3}\). Tiếp tục như vậy ta có \({r_3} = \frac{{{r_1}}}{{{3^2}}},\,\,{r_4} = \frac{{{r_1}}}{{{3^3}}},\,\,...,\,\,{r_n} = \frac{{{r_1}}}{{{3^{n - 1}}}}\).
Ta có : \({V_1} = \frac{4}{3}\pi r_1^3,\,\,{V_2} = \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{{r_1}}}{3}} \right)^3} = \frac{1}{{{3^3}}}{V_1},\,\,{V_3} = \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^2}}}{V_1},...;{V_n} = \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^{n - 1}}}}{V_1}\)
\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{V_1} + {V_2} + ... + {V_n}}}{V} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{V_1}\left( {1 + \frac{1}{{{3^3}}} + \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^{n - 1}}}}} \right)}}{V} = \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{{V_1}.S}}{V}\)
Đặt \(S = 1 + \frac{1}{{{3^3}}} + \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^2}}} + ... + \frac{1}{{{{\left( {{3^3}} \right)}^{n - 1}}}}\).
Đây là tổng của CSN lùi vô hạn với công bội \(q = \frac{1}{{{3^3}}} < 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } S = \frac{1}{{1 - \frac{1}{{{3^3}}}}} = \frac{{27}}{{26}}\)
\( \Rightarrow {V_1} + {V_2} + ... + {V_n} = \frac{{27}}{{26}}{V_1} = \frac{{27}}{{26}}.\frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{{l\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \frac{{\sqrt 3 }}{{52}}\pi {l^3}\)
\(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {\left( {\frac{l}{2}} \right)^2}.\frac{{l\sqrt 3 }}{2} = \frac{{\sqrt 3 \pi {l^3}}}{{24}}\)
\( \Rightarrow T = \frac{{\frac{{\sqrt 3 }}{{52}}\pi {l^3}}}{{\frac{{\sqrt 3 \pi {l^3}}}{{24}}}} = \frac{6}{{13}}\).
Chọn B.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Tính diện tích lớn nhất của hình chữ nhật \(ABCD\) nội tiếp trong nửa đường tròn có bán kính \(10cm\) (hình vẽ)
A.\(160c{m^2}\)
B. \(100c{m^2}\)
C.\(80c{m^2}\)
D. \(200c{m^2}\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Đồ thị hàm số đã cho có tất cả bao nhiêu đường tiệm cận?
A.\(0\)
B.\(1\)
C.\(3\)
D.\(2\)

Khi vật rắn quay không đều thì đại lượng đặc trưng cho sự biến đổi về hướng của vận tốc một điểm trên vật là
A.gia tốc toàn phần
B.gia tốc góc.
C.gia tốc hướng tâm.
D.gia tốc tiếp tuyến.

Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông tại \(A\) và \(AB = AC = a.\) Biết góc giữa hai đường thẳng \(AC'\) và \(BA'\) bằng \({60^0}\) . Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) bằng
A.\({a^3}\)
B.\(2{a^3}\)
C.\(\frac{{{a^3}}}{3}\)
D.\(\frac{{{a^3}}}{2}\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau:
Hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
A.\(3\)
B.\(5\)
C.\(2\)
D.\(4\)

Một người vay ngân hàng số tiền 50 triệu đồng, mỗi tháng trả ngân hàng số tiền 4 triệu đồng và phải trả lãi suất cho số tiền còn nợ là \(1,1\% \) một tháng theo hình thức lãi kép. Giả sử sau \(n\) tháng người đó trả hết nợ. Khi đó \(n\) gần với số nào dưới đây?
A.\(13\)
B.\(15\)
C. \(16\)
D. \(14\)

Số nghiệm thực của phương trình \({4^{x - 1}} + {2^{x + 3}} - 4 = 0\) là
A.\(1\)
B.\(2\)
C.\(3\)
D.\(0\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) và có bảng biến thiên trên \({\rm{[}} - 5;7)\) như sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.\(\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{[ - 5;7)} = 2\) và hàm số không đạt giá trị lớn nhất trên \({\rm{[}} - 5;7)\)
B.\(\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 5;7)} f\left( x \right) = 6\) và \(\mathop {min}\limits_{{\rm{[}} - 5;7)} f\left( x \right) = 2\)
C.\(\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 5;7)} f\left( x \right) = 9\) và \(\mathop {min}\limits_{{\rm{[}} - 5;7)} f\left( x \right) = 2\)
D.\(\mathop {\max }\limits_{{\rm{[}} - 5;7)} f\left( x \right) = 9\) và \(\mathop {min}\limits_{{\rm{[}} - 5;7)} f\left( x \right) = 6\)

Số nghiệm thực của phương trình \({\log _3}x + {\log _3}\left( {x - 6} \right) = {\log _3}7\) là
A.\(0\)
B.\(2\)
C.\(1\)
D.\(3\)

Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y = - 2{x^3} + 3{x^2} + 1\)
A.\(y = x + 1\)
B.\(y = - x + 1\)
C.\(y = x - 1\)
D.\(y = - x - 1\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến