Đáp án đúng: C
Giải chi tiết:Đồ thị là \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = \dfrac{{x + 2}}{{x - 2}}\) có hai đường tiệm cận là \(x = 2\,\,\left( {{d_1}} \right),\,\,y = 1\,\,\left( {{d_2}} \right)\). Tọa độ điểm \(I\left( {2;1} \right)\).
Gọi \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là tiếp điểm, \(M \in \left( C \right)\).
Ta có \(y' = \dfrac{{ - 2.1 - 1.2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0\,\,\forall x \ne 2\).
Phương trình tiếp tuyến của \(\left( C \right)\) tại \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là: \(y = \dfrac{{ - 4}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 2}}\) (d).
Gọi \(A = \left( d \right) \cap \left( {{d_1}} \right)\).
\(\begin{array}{l}Cho\,\,x = 2 \Rightarrow y = \dfrac{{ - 4\left( {2 - {x_0}} \right)}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 2}} = \dfrac{4}{{{x_0} - 2}} + \dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 2}} = \dfrac{{{x_0} + 6}}{{{x_0} - 2}}\\ \Rightarrow A\left( {2;\dfrac{{{x_0} + 6}}{{{x_0} - 2}}} \right)\end{array}\)
Gọi \(B = \left( d \right) \cap \left( {{d_2}} \right)\)
\(\begin{array}{l}Cho\,\,y = 1 \Rightarrow 1 = \dfrac{{ - 4\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^2 - 4}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow - 4\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^2 - 4 = {\left( {{x_0} - 2} \right)^2}\\ \Leftrightarrow - 4\left( {x - {x_0}} \right) = - 4{x_0} + 8 \Leftrightarrow x - {x_0} = {x_0} - 2 \Leftrightarrow x = 2{x_0} - 2\\ \Rightarrow B\left( {2{x_0} - 2;1} \right)\end{array}\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{x_A} + {x_B} = 2{x_0} = 2{x_M}\\{y_A} + {y_B} = \dfrac{{{x_0} + 6}}{{{x_0} - 2}} + 1 = \dfrac{{2{x_0} + 4}}{{{x_0} - 2}} = 2{y_M}\end{array} \right.\)
Suy ra \(M\) là trung điểm của AB.
Tam giác IAB vuông tại I \( \Rightarrow \)Bán kính đường tròn ngoại tiếp IAB bằng \(R = IM\)
Chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là: \(C = 2\pi R\), chu vi đạt GTNN khi và chỉ khi \(MI\) ngắn nhất
Ta có:
\(\begin{array}{l}R = MI = \sqrt {{{\left( {2 - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {1 - {y_0}} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {2 - {x_0}} \right)}^2} + {{\left( {1 - \dfrac{{{x_0} + 2}}{{{x_0} - 2}}} \right)}^2}} \\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \sqrt {{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2} + \dfrac{{16}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}}} \ge \sqrt {2\sqrt {16} } = 2\sqrt 2 \end{array}\)
\(M{I_{\min }} = 2\sqrt 2 \) khi và chỉ khi \({\left( {{x_0} - 2} \right)^2} = \dfrac{{16}}{{{{\left( {{x_0} - 2} \right)}^2}}} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} - 2 = 4\\{x_0} - 2 = - 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 6\\{x_0} = - 2\end{array} \right.\)
Giá trị nhỏ nhất của chu vi đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB là: \(2\pi .2\sqrt 2 = \)\(4\sqrt 2 \pi \).
Chọn: C
