Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\), \(f\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x \in \left[ {1;3} \right]\), đồng thời \(f'\left( x \right){\left( {1 + f\left( x \right)} \right)^2} = {\left[ {{{\l

235789940711897

1 năm trước

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) xác định và có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ {1;3} \right]\), \(f\left( x \right) \ne 0\) với mọi \(x \in \left[ {1;3} \right]\), đồng thời \(f'\left( x \right){\left( {1 + f\left( x \right)} \right)^2} = {\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)} \right]^2}\) và \(f\left( 1 \right) = - 1\). Biết rằng\(\int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = a\ln 3 + b\,\,\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right)\), tính tổng \(S = a + {b^2}\).
A.\(S = 2\).
B.\(S = 0\).
C.\(S = 4\)
D.\(S = - 1\).

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 11 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

lotayvoi

Đáp án đúng: D
Giải chi tiết:Ta có: \(f'\left( x \right){\left( {1 + f\left( x \right)} \right)^2} = {\left[ {{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}\left( {x - 1} \right)} \right]^2} \Leftrightarrow \dfrac{{f'\left( x \right){{\left( {1 + f\left( x \right)} \right)}^2}}}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^4}}} = {\left( {x - 1} \right)^2},\,\,\forall x \in \left[ {1;3} \right]\)
\(\begin{array}{l} \Rightarrow \int\limits_1^x {\dfrac{{f'\left( x \right){{\left( {1 + f\left( x \right)} \right)}^2}}}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^4}}}dx} = \int\limits_1^x {{{\left( {x - 1} \right)}^2}} dx\,,\,\forall \,x \in \left[ {1;3} \right]\\ \Leftrightarrow \int\limits_1^x {\left[ {\dfrac{1}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^4}}} + \dfrac{2}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^3}}} + \dfrac{1}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}}}} \right]d\left( {f\left( x \right)} \right)} = \left. {\dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}{3}} \right|_1^x\\ \Leftrightarrow \left. {\left[ { - \dfrac{1}{{3{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^3}}} - \dfrac{2}{{2{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} \right]} \right|_1^x = \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}{3} - \dfrac{0}{3}\\ \Leftrightarrow \left[ { - \dfrac{1}{{3{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^3}}} - \dfrac{2}{{2{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} \right] - \left[ { - \dfrac{1}{{3{{\left( {f\left( 1 \right)} \right)}^3}}} - \dfrac{2}{{2{{\left( {f\left( 1 \right)} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{f\left( 1 \right)}}} \right] = \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}{3}\\ \Leftrightarrow \left[ { - \dfrac{1}{{3{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^3}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} \right] - \left[ {\dfrac{1}{3} - 1 + 1} \right] = \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}{3}\\ \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{3{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^3}}} - \dfrac{1}{{{{\left( {f\left( x \right)} \right)}^2}}} - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = \dfrac{{{{\left( {x - 1} \right)}^3} + 1}}{3}\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{3}{\left( { - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)^3} - {\left( { - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} \right)^2} + \left( { - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} \right) = \dfrac{1}{3}{x^3} - {x^2} + x\,\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Xét hàm số \(g\left( t \right) = \dfrac{1}{3}{t^3} - {t^2} + t\) có\(g'\left( t \right) = {t^2} - 2t + 1 \ge 0,\,\forall t \Rightarrow \)Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
Khi đó, (*)\( \Leftrightarrow g\left( { - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}}} \right) = g\left( x \right) \Leftrightarrow - \dfrac{1}{{f\left( x \right)}} = x \Leftrightarrow f\left( x \right) = - \dfrac{1}{x}\)
\( \Rightarrow \int\limits_1^3 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_1^3 {\dfrac{{ - 1}}{x}dx} = - \left. {\ln \left| x \right|} \right|_1^3 = - \ln 3\)\( = a\ln 3 + b\,\,\left( {a,b \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow a = - 1,\,\,b = 0\)\( \Rightarrow S = a + {b^2} = - 1\).
Chọn: D

Vote (0) Phản hồi (0) 1 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Xác định hệ số của \({x^{13}}\) trong khai triển của \({\left( {x + 2{x^2}} \right)^{10}}\).
A.180.
B.3360.
C.960.
D.5120.

Gọi S là tổng các giá trị của tham số \(m < 0\) thỏa mãn giá trị nhỏ nhất trên đoạn \(\left[ {1;2} \right]\) của hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - 2m{x^2} - 4{m^2}x + 100\) bằng 12. Tìm phát biểu đúng trong các phát biểu sau đây:
A.\( - 15 < S < - 10\).
B.\( - 20 < S < - 15\).
C.\( - 5 < S < 0\).
D.\( - 10 < S < - 5\).

Biết rằng hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2} + mx + m\) chỉ nghịch biến trên một đoạn có độ dài bằng 3. Giá trị tham số m thuộc khoảng nào sau đây?
A.\(\left( { - 3;0} \right)\).
B.\(\left( {0;3} \right)\).
C.\(\left( { - \infty ; - 3} \right)\).
D.\(\left( {3; + \infty } \right)\).

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình \({x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x + 4y - 4z + 6 = 0\). Xác định bán kính R của mặt cầu.
A.\(R = \sqrt 3 \).
B.\(R = \sqrt {30} \).
C.\(R = \sqrt {15} \).
D.\(R = \sqrt {42} \).

Trong các khối trụ có cùng thể tích, khối trụ có chiều cao h và bán kính đáy R thỏa mãn điều kiện nào sau đây thì có diện tích toàn phần nhỏ nhất?
A.\(h = 3R\).
B.\(h = 2R\).
C.\(R = 2h\).
D.\(R = 3h\).

Tung một con súc sắc không đồng chất thì xác suất hiện mặt hai chấm và ba chấm lần lượt gấp 2 và 3 lần xác suất xuất hiện các mặt còn lại, xác suất xuất hiên các mặt còn lại như nhau, Xác suất để 7 lần tung có đúng 3 lần xuất hiện mặt số chẵn và 4 lần xuất hiện mặt số lẻ gần bằng số nào sau đây?
A.0,2342.
B.0,292.
C.0,2927.
D.0,234.

Tính giới hạn \(L = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \dfrac{{{x^2} - x - 2}}{{3{x^2} + 8x + 5}}\).
A.\(L = 0\).
B.\(L = - \infty \).
C.\(L = - \dfrac{3}{2}\)
D.\(L = \dfrac{1}{2}\).

Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có O là giao điểm của hai đường thẳng AC’ và A’C. Xác định ảnh của tứ diện AB’C’D’ qua phép đối xứng tâm O.
A.Tứ diện ABC’D.
B.Tứ diện A’BCD.
C.Tứ diện AB’CD.
D.Tứ diện ABCD’.

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm \(M\left( {1;0;6} \right)\) và mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có phương trình là \(x + 2y + 2z - 1 = 0\). Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \beta \right)\) đi qua M và song song với \(\left( \alpha \right)\).
A.\(\left( \beta \right):x + 2y + 2z + 13 = 0\).
B.\(\left( \beta \right):x + 2y + 2z - 15 = 0\).
C.\(\left( \beta \right):x + 2y + 2z - 13 = 0\).
D.\(\left( \beta \right):x + 2y + 2z + 15 = 0\).

Xác định giá trị của tham số m sao cho hàm số \(y = x + m\sqrt x \) đạt cực trị tại \(x = 1\).
A.\(m = - 2\).
B.\(m = 2\).
C.\(m = 6\).
D.\(m = - 6\).

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến