Xét các số thực dương $x;y$ thỏa mãn ${\log _3}\dfrac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4.$ Tìm giá trị nhỏ nhất ${P_{\min }}$ của biểu thức $P = x + y.$A.${P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 - 4}}{3}$B.${P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3 + 4}}{3}$C.\({P

vanbinhlitin

2 năm trước

Xét các số thực dương

x;y

thỏa mãn

{\log _3}\dfrac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4.

Tìm giá trị nhỏ nhất

{P_{\min }}

của biểu thức

P = x + y.

{P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  - 4}}{3}

{P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  + 4}}{3}

{P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  + 4}}{9}

{P_{\min }} = \frac{{4\sqrt 3  - 4}}{9}

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 21 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

roshanjasmine1102

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:ĐK:

\dfrac{{1 - y}}{{x + 3xy}} &gt; 0 \Rightarrow y &lt; 1

\left( {x;y &gt; 0} \right)

Ta có

\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,{\log _3}\dfrac{{1 - y}}{{x + 3xy}} = 3xy + x + 3y - 4\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) - {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) = x + 3xy + 3\left( {y - 1} \right) - 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) + 3\left( {1 - y} \right) = {\log _3}\left( {x + 3xy} \right) + \left( {x + 3xy} \right) - 1\\ \Leftrightarrow {\log _3}\left( {1 - y} \right) + 3\left( {1 - y} \right) = {\log _3}\dfrac{{\left( {x + 3xy} \right)}}{3} + \left( {x + 3xy} \right)\,\,\,\left( * \right)\end{array}

Xét hàm số

f\left( t \right) = {\log _3}t + 3t\,\,\left( {t &gt; 0} \right)

có

f&#x27;\left( t \right) = \dfrac{1}{{t\ln 3}} + 3 &gt; 0;\,\forall t &gt; 0

nên hàm số đồng biến trên

\left( {0; + \infty } \right)

Kết hợp (*) suy ra

f\left( {1 - y} \right) = f\left( {\dfrac{{x + 3xy}}{3}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{x + 3xy}}{3} = 1 - y

\Leftrightarrow x + 3xy = 3 - 3y \Leftrightarrow x + 3xy + 3y - 3 = 0\,\,\,\left( {**} \right)

Xét

P = x + y \Rightarrow x = P - y

thay vào (**) ta được

P - y + 3\left( {P - y} \right)y + 3y - 3 = 0 \Leftrightarrow P\left( {3y + 1} \right) = 3{y^2} - 2y + 3

\Leftrightarrow P = \dfrac{{3{y^2} - 2y + 3}}{{3y + 1}}

(vì

0 &lt; y &lt; 1 \Rightarrow 3y + 1 &gt; 0

)
Ta tìm giá trị nhỏ nhất của

g\left( y \right) = \dfrac{{3{y^2} - 2y + 3}}{{3y + 1}}

trên

\left( {0;1} \right)

Ta có

g&#x27;\left( y \right) = \dfrac{{\left( {6y - 2} \right)\left( {3y + 1} \right) - 3\left( {3{y^2} - 2y + 3} \right)}}{{{{\left( {3y + 1} \right)}^2}}} = \dfrac{{9{y^2} + 6y - 11}}{{{{\left( {3y + 1} \right)}^2}}}

Giải phương trình

g&#x27;\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = \dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3} \in \left( {0;1} \right)\\y = \dfrac{{ - 1 - 2\sqrt 3 }}{3} \notin \left( {0;1} \right)\end{array} \right.

Lại có

g&#x27;\left( y \right) &lt; 0\,\,\,\,\forall y \in \left( {0;\dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)

và

g&#x27;\left( y \right) &gt; 0\,\,\,\,\forall y \in \left( {\dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3};1} \right)

Hay

g&#x27;\left( y \right)

đổi dấu từ âm sang dương tại

y = \dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}

nên

\mathop {\min }\limits_{\left( {0;1} \right)} g\left( y \right) = g\left( {\dfrac{{ - 1 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right) = \dfrac{{4\sqrt 3  - 4}}{3} \Rightarrow {P_{\min }} = \dfrac{{4\sqrt 3  - 4}}{3}

Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hàm số $f\left( x \right)$ thỏa mãn ${\left( {f'\left( x \right)} \right)^2} + f\left( x \right).f'\left( x \right) = 15{x^4} + 12x,\,\forall x \in \mathbb{R}$ và $f\left( 0 \right) = f'\left( 0 \right) = 1.$ Giá trị của ${\left( {f\left( 1 \right)} \right)^2}$ là
A. $10$
B. $8$
C. $\frac{5}{2}$
D. $\frac{9}{2}$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz,$ cho hai điểm $A\left( {1;0;2} \right),B\left( {3;1; - 1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + z - 1 = 0$ . Gọi $M\left( {a;b;c} \right) \in \left( P \right)$ sao cho $\left| {3\overrightarrow {MA} - 2\overrightarrow {MB} } \right|$ đạt gá trị nhỏ nhất. Tính $S = 9a + 3b + 6c.$
A. $4$
B. $3$
C. $2$
D. $1$

Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD$ và $\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = 60^\circ .$ Xác định góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $CD.$
A. $90^\circ$
B. $45^\circ$
C. $60^\circ$
D. $30^\circ$

Cho một miếng tôn hình tròn tâm $O$ , bán kính $R$ . Cắt bỏ một phần miếng tôn theo một hình quạt $OAB$ và gò phần còn lại thành một hình nón đỉnh $O$ không có đáy ( $OA$ trùng với $OB$ ). Gọi $S$ và $S'$ lần lượt là diện tích của miếng tôn hình tròn ban đầu và diện tích của miếng tôn còn lại. tìm tỉ số $\frac{{S'}}{S}$ để thể tích của khối nón đạt giá trị lớn nhất.
A. \(\frac{{\sqrt 2 }}{3}\
B. $\frac{1}{4}$
C. $\frac{1}{3}$
D. $\frac{{\sqrt 6 }}{3}$

Cho các số phức $z$ thỏa mãn $\left| {z + 1} \right| = 2$ . Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức $w = \left( {1 + i\sqrt 8 } \right)z + i$ là một đường tròn. Bán kính $r$ của đường tròn đó là
A. $9$
B. $36$
C. $6$
D. $3$

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để phương trình ${\log ^2}\left| {\cos x} \right| - m\log {\cos ^2}x - {m^2} + 4 = 0$ vô nghiệm
A. $m \in \left( {\sqrt 2 ;2} \right)$
B. $m \in \left( { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right)$
C. $m \in \left( { - \sqrt 2 ;2} \right)$
D. $m \in \left( { - 2;\sqrt 2 } \right)$

Cho hình phẳng giói hạn bởi các đường $y = \sqrt {\tan x} ;y = 0;x = 0;x = \frac{\pi }{4}$ quay xung quanh trục $Ox.$ Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra.
A. $\frac{{\pi \ln 2}}{2}$
B. $\frac{{\pi \ln 3}}{4}$
C. $\frac{\pi }{4}$
D. $\pi \ln 2$

Trong mặt phẳng $Oxy,$ gọi $A,B,C$ lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức ${z_1} = - 3i;{z_2} = 2 - 2i;{z_3} = - 5 - i.$ Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC.$ Khi đó điểm $G$ biểu diễn số phức là
A. $z = - 1 - i$
B. $z = - 1 - 2i$
C. $z = 1 - 2i$
D. $z = 2 - i$

Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${2^x}{.5^{{x^2} - 2x}} = 1$ . Khi đó tổng ${x_1} + {x_2}$ bằng
A. $2 - {\log _5}2$
B. $- 2 + {\log _5}2$
C. $2 + {\log _5}2$
D. $2 - {\log _2}5$

Tập nghiệm của bất phương trình $\log _2^2x - 5{\log _2}x - 6 \le 0$ là
A. $S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right]$
B. $S = \left[ {64; + \infty } \right)$
C. $S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right] \cup \left[ {64; + \infty } \right)$
D. $S = \left[ {\frac{1}{2};64} \right]$