Xét các số thực dương x;y thỏa mãn log3x+3xy1−y=3xy+x+3y−4. Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P=x+y. A.Pmin=343−4 B.Pmin=343+4 C.Pmin=943+4 D.Pmin=943−4
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:ĐK: x+3xy1−y>0⇒y<1(x;y>0) Ta có log3x+3xy1−y=3xy+x+3y−4⇔log3(1−y)−log3(x+3xy)=x+3xy+3(y−1)−1⇔log3(1−y)+3(1−y)=log3(x+3xy)+(x+3xy)−1⇔log3(1−y)+3(1−y)=log33(x+3xy)+(x+3xy)(∗) Xét hàm số f(t)=log3t+3t(t>0) có f′(t)=tln31+3>0;∀t>0 nên hàm số đồng biến trên (0;+∞) Kết hợp (*) suy ra f(1−y)=f(3x+3xy)⇔3x+3xy=1−y ⇔x+3xy=3−3y⇔x+3xy+3y−3=0(∗∗) Xét P=x+y⇒x=P−y thay vào (**) ta được P−y+3(P−y)y+3y−3=0⇔P(3y+1)=3y2−2y+3 ⇔P=3y+13y2−2y+3 (vì 0<y<1⇒3y+1>0) Ta tìm giá trị nhỏ nhất của g(y)=3y+13y2−2y+3 trên (0;1) Ta có g′(y)=(3y+1)2(6y−2)(3y+1)−3(3y2−2y+3)=(3y+1)29y2+6y−11 Giải phương trình g′(y)=0⇔⎣⎢⎡y=3−1+23∈(0;1)y=3−1−23∈/(0;1) Lại có g′(y)<0∀y∈(0;3−1+23) và g′(y)>0∀y∈(3−1+23;1) Hay g′(y) đổi dấu từ âm sang dương tại y=3−1+23 nên (0;1)ming(y)=g(3−1+23)=343−4⇒Pmin=343−4 Chọn A.