Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) tam giác \(SAB\) đều và tam giác \(SCD\) vuông cân tại \(S.\) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.A.\(\frac{7}{3}\pi {a^2}\)B.\(\frac{8}{3}\pi {a^2}\)C.\(\frac{5}{3}\pi {a^2}\)D.\(\pi {a^2}\)

nhuquynh09042k6

2 năm trước

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a,\) tam giác \(SAB\) đều và tam giác \(SCD\) vuông cân tại \(S.\) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.
A.\(\frac{7}{3}\pi {a^2}\)
B.\(\frac{8}{3}\pi {a^2}\)
C.\(\frac{5}{3}\pi {a^2}\)
D.\(\pi {a^2}\)

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 20 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

ngocmj01

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:
Gọi \(O\) là tâm hình vuông \(ABCD,\) gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \(AB;CD\).
Kẻ \(SH \bot MN\) tại \(H.\)
Ta có \(SN \bot DC;\,\,\,MN \bot DC \Rightarrow DC \bot \left( {SMN} \right) \Rightarrow DC \bot SH\)
Mà \(SH \bot MN \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Vì \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\) nên \(OB = OC = OA = OD = \frac{{AC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) ; \(OM = ON = \frac{{MN}}{2} = \frac{a}{2}\)
Vì tam giác \(SDC\) vuông cân tại \(S\) có cạnh huyền \(CD = a \Rightarrow SN = \frac{a}{2}\)
Vì tam giác \(ABS\) đều cạnh \(a \Rightarrow SM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)
Xét tam giác \(SNM\) có \(M{N^2} = S{N^2} + S{M^2}\,\left( {{a^2} = {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} = \frac{{4{a^2}}}{4} = {a^2}} \right)\) nên \(\Delta SMN\) vuông tại \(S.\)
Suy ra \(SH.MN = SN.SM \Rightarrow SH = \frac{{\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{a} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\) và \(S{N^2} = NH.NM \Rightarrow HN = \frac{{S{N^2}}}{{MN}} = \frac{a}{4} \Rightarrow HO = \frac{a}{4}\)
Nhận thấy \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông \(ABCD\). Kẻ tia \(Oy//SH\) , khi đó tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) nằm trên đường thẳng \(Oy.\)
Trên tia \(OM\) ta lấy \(K\) sao cho \(OK = OA = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) , khi đó \(K \in \left( {O;OA} \right)\)
Trong mặt phẳng \(\left( {SMN} \right)\), lấy \(E\) là trung điểm \(SK,\) kẻ \(EI\) là đường trung trực của \(SK\) \(\left( {I \in Oy} \right)\) khi đó \(IK = IS = IA = IB = IC = ID\) nên \(I\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABCD\) và bán kính là \(R = IK\)
Kẻ \(SF \bot Oy \Rightarrow SF = OH = \frac{a}{4};OF = SH = \frac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
Gắn hệ trục \(Oxy\) với \(OM \equiv Ox;Oy//SH\)
Đặt \(I\left( {0;{y_0}} \right) \Rightarrow IF = \frac{{a\sqrt 3 }}{4} - {y_0}\)
Xét tam giác vuông \(\Delta ISF\) có \(I{S^2} = I{F^2} + S{F^2} = {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4} - {y_0}} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{4}} \right)^2}\)
Xét tam giác vuông \(OIK\) có \(I{K^2} = O{I^2} + O{K^2} = {y_0}^2 + {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\)
Vì \(IK = IS \Leftrightarrow I{K^2} = I{S^2} \Leftrightarrow {\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{4} - {y_0}} \right)^2} + {\left( {\frac{a}{4}} \right)^2} = {y_0}^2 + {\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{y_0} = \frac{{{a^2}}}{4} \Rightarrow {y_0} = - \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
Suy ra bán kính mặt cầu \(R = IK = \sqrt {y_0^2 + {{\left( {\frac{{a\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{{a^2}}}{{12}} + \frac{{{a^2}}}{2}} = \frac{{a\sqrt {21} }}{6}\)
Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là \(S = 4\pi {R^2} = 4\pi .\frac{{{a^2}.21}}{{36}} = \frac{{7\pi {a^2}}}{3}.\)
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có mặt \(ABCD\) là hình vuông, \(AA' = \frac{{AB\sqrt 6 }}{2}.\) Xác định góc giữa hai mặt phẳng \(\left( {A'BD} \right)\) và \(\left( {C'BD} \right)\).
A.\(30^\circ \)
B.\(45^\circ \)
C.\(60^\circ \)
D.\(90^\circ \)

Trong không gian hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A\left( {1;2;3} \right),B\left( {5;4; - 1} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là
A.\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 9\)
B.\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 6\)
C.\({\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 9\)
D.\({\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 36\)

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), phương trình tham số trục \(Oz\) là
A.\(z = 0\)
B.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = t\\z = 0\end{array} \right.\)
C.\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = 0\\z = 0\end{array} \right.\)
D.\(\left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\\z = t\end{array} \right.\)

Biết tứ diện đều \(ABCD\) có thể tích bằng \(\frac{1}{3}{a^3}.\) Xác định \(AB.\)
A.\(2a\sqrt 2 \)
B.\(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
C.\(a\)
D.\(a\sqrt 2 \)

Cho \({\log _3}5 = a,{\log _3}6 = b,{\log _3}22 = c\). Tính \(P = {\log _3}\frac{{90}}{{11}}\) theo \(a,b,c\).
A.\(P = 2a + b - c\)
B.\(P = a + 2b - c\)
C.\(P = 2a + b + c\)
D.\(P = 2a - b + c\)

Tập nghiệm của bất phương trình \({\log _2}\left( {{x^2} - 1} \right) \ge 3\) là
A.\(\left[ { - 2;2} \right]\)
B.\(\left( { - \infty ; - 3} \right] \cup \left[ {3; + \infty } \right)\)
C.\(\left( { - \infty ; - 2} \right] \cup \left[ {2; + \infty } \right)\)
D.\(\left[ { - 3;3} \right]\)

Đồ thị của hàm số \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 2x - 3}}\) có bao nhiêu tiệm cận?
A.\(3\)
B.\(2\)
C.\(1\)
D.\(0\)

Phương trình \({\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^x} + {\left( {\sqrt 2 + 1} \right)^x} - 2\sqrt 2 = 0\) có tích các nghiệm là:
A.\(0\)
B.\(2\)
C.\( - 1\)
D.\(1\)

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = x{e^{2x}}\) là
A.\(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}}\left( {x - \frac{1}{2}} \right) + C\)
B.\(F\left( x \right) = \frac{1}{2}{e^{2x}}\left( {x - 2} \right) + C\)
C.\(F\left( x \right) = 2{e^{2x}}\left( {x - 2} \right) + C\)
D.\(F\left( x \right) = 2{e^{2x}}\left( {x - \frac{1}{2}} \right) + C\)

Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{x} + \sin x\) là
A.\(\ln x - \cos x + C\)
B.\( - \frac{1}{{{x^2}}} - \cos x + C\)
C.\(\ln \left| x \right| + \cos x + C\)
D.\(\ln \left| x \right| - \cos x + C\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến