a) Ta có $E$ là trung điểm của $BC\Rightarrow EC=BE=\dfrac{1}{2}BC$
$F$ là trung điểm của $AD\Rightarrow AF=FD=\dfrac{1}{2}AD$
Mà tứ giác $ABCD$ là hình bình hành $\Rightarrow EC=AD$
và $EC\parallel AD$
$\Rightarrow EC\parallel=AD$
$\Rightarrow $ tứ giác $AECF$ là hình bình hành
b) Ta có $BE=AF$ (vì $=\dfrac{1}{2}BC=\dfrac{1}{2}AD$)
và $BE\parallel AF$
$\Rightarrow ABEF$ là hình bình hành có $AB=BE$ (vì cùng $=\dfrac{1}{2}AD=\dfrac{1}{2}BC$)
$\Rightarrow ABEF$ là hình thoi
2 đường chéo của hình thoi vuông góc với nhau
$\Rightarrow AE\bot BF$
c) $\Delta ABF$ có $AB=AF$ (do $ABEF$ là hình thoi)
và có $\widehat A=60^o$
$\Rightarrow \Delta ABF$ là tam giác đều
$\Rightarrow \widehat{ABF}=\widehat{AFB}=60^o$
$\Rightarrow \widehat{BFD}=180^o-\widehat{ABF}=180^o-60^o=120^o$
Và $ BF=AF=FD\Rightarrow \Delta FBD$ cân đỉnh $F$
$\Rightarrow \widehat{FBD}=\widehat{FDB}=\dfrac{180^o-\widehat{BFD}}{2}=\dfrac{180^o-120^o}{2}=30^o$
$\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{ABF}+\widehat{FBD}=60^o+30^o=90^o$
d) Tứ giác $BFDC$ có $FD\parallel BC$
$\Rightarrow BFDC$ là hình thang
Lại có $BF=AB=DC$
$\Rightarrow BFDC$ là hình thang cân
e)
f) Tứ giác $ABCD$ là hinh bình hành
Gọi $O=AC\cap BD\Rightarrow O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$
Tứ giác $AECF$ là hình bình hành $\Rightarrow $ 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
có $O $ là trung điểm của $AC\Rightarrow O$ là trung điểm của $EF$
$\Rightarrow AC,BD,EF$ đồng quy tại $O$ là trung điểm của mỗi đường.
