Đáp án:
$\alpha$=$60^{0}$
Giải thích các bước giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD
I là trung điểm BC, OK vuông góc với SI
Ta có: d(A,(SBC))=2d(O,(SBC))=2OK=2a
⇒ OK=a
Đặt SO=h, AB=x
⇒OI=$\frac{x}{2}$
⇒$\frac{1}{h^{2}}$ +$\frac{4}{x^{2}}$ =$\frac{1}{a^{2}}$
⇒ $x^{2}$ =$\frac{4a^{2}h^{2}}{h^{2}-a^{2}}$
Ta có:
$V_{SABCD}$ =$\frac{1}{3}$ SH. $S_{ABCD}$ =$\frac{1}{3}$.h.$x^{2}$ =$\frac{1}{3}$h. $\frac{4a^{2}h^{2}}{h^{2}-a^{2}}$=$\frac{4a^{2}}{a}$ .$\frac{h^{3}}{h^{2}-a^{2}}$
Khảo sát hàm số f(h)=$\frac{4a^{2}}{a}$ .$\frac{h^{3}}{h^{2}-a^{2}}$
⇒ f(h) nhỏ nhất khi h=$\sqrt[]{3}$ a
Khi đó Tan$\alpha$=$\sqrt[]{3}$ a:a=$\sqrt[]{3}$
⇒ $\alpha$=$60^{0}$
Vậy $V_{SABCD}$ nhỏ nhất khi $\alpha$=$60^{0}$
