a) Do AD và EF đều vuông góc với BC nên AD//EF (từ vuông góc đến song song).
Xét tam giác BAD và BEF có
$\widehat{BAD} = \widehat{BFE}$ và $\widehat{BDA} = \widehat{BEF}$ (do AD//EF và các góc ở vị trí so le trong)
Vậy tam giác BAD đồng dạng với tam giác BFE.
Lại có tam giác ABD cân tại B nên tam giác BEF cũng cân tại B.
Lại có BH là đường cao của EF nên BH cũng là trung tuyến, do đó H là trung điểm EF.
b) Do $\widehat{BAC} = 90^{\circ}$ nên $\widehat{EAF} = 90^{\circ}$
Vậy tam giác EAF vuông tại A.
Lại có H là trung điểm EF nên EH là đường trung tuyến của tam giác vuông EAF, vậy AH = HF. Vậy tam giác AHF cân tại H.
Vậy $\widehat{HAF} = \widehat{HFA}$.
c) Do tam giác BAD đồng dạng với tam giác BFE và 2 tam giác đều cân nên $\widehat{HFE} = \widehat{BDA}$.
Lại có $\widehat{BCA}$ và $\widehat{BDA}$ đều chắn cung BA, nên 2 góc này bằng nhau.
Vậy $\widehat{BCA} = \widehat{HEF}$.
Mặt khác, ta có O là trung điểm BC và tam giác ABC vuông tại A nên $BO = OC$.
Vậy tam giác BOC cân tại O và $\widehat{OBC} = \widehat{BCA}$.
Vậy $\widehat{OBC} = \widehat{HEF}.
Tuy nhiên, ta có
$\widehat{OBC} + \widehat{BAO} = 90^{\circ}$
$\Leftrightarrow \widehat{HEF} + \widehat{BAO} = 90^{\circ}$
$\Leftrightarrow \widehat{HAO} = 90^{\circ}$
Vậy suy ra $HA \perp AO$.
Vậy AH là tiếp tuyến của đường tròn.
