a) Tứ giác $AMHN$ có:
$\widehat{A}=\widehat{M}=\widehat{N}=90^o$
$\Rightarrow AMHN$ là hình chữ nhật.
b) Ta có: $I$ là trung điểm $HC$
$K$ đối xứng với $A$ qua $I\Rightarrow I$ là trung điểm $AK$
$\Rightarrow$ Tứ giác $AHKC$ có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
$\Rightarrow AHKC$ là hình bình hành
$\Rightarrow AC\parallel HK$.
c) Ta có: $MH\parallel AN$ (do $AMHN$ là hình chữ nhật)
$\Rightarrow MH\parallel AC$
Mà $AC\parallel HK$ (cmt)
$\Rightarrow MH\parallel HK$
$\Rightarrow M,H,K$ thẳng hàng
$\Rightarrow MK\parallel NC$
$\Rightarrow MNCK$ là hình thang (1)
Ta có: $AHKC$ là hình bình hành
$\Rightarrow CK=AH$
mà $AH=NM$ (do $AMHN$ là hình chữ nhật)
$\Rightarrow CK=NM$ (2)
Từ (1) và (2) $\Rightarrow MNCK$ là hình thang cân.
d) $\Delta AHC$ có
$O$ là trung điểm của $AH$
$\Rightarrow CO$ là trung tuyến
$I$ là trung điểm của $HC$
$\Rightarrow AI$ là trung tuyến
Mà $CO\cap AI=D$
$\Rightarrow D$ là trọng tâm $\Delta AHC$
$\Rightarrow AD=\dfrac{2}{3}AI=\dfrac{2}{3}\dfrac{1}{2}AK$
$\Rightarrow AD=\dfrac{1}{3}AK$
$\Rightarrow AK=3AD$ (đpcm).
