Tìm \(m \) để hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+mx+2 \) tăng trên khoảng \( \left( 1;+ \infty \right). \) A.\(m\ge 3.\) B. \(m\ne 3.\) C. \(m\le 3.\) D.\(m<3.\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết: Lời giải chi tiết. Ta có \(y'=3{{x}^{2}}-6x+m.\) Để hàm số đã cho tăng trên \(\left( 1;+\infty \right)\) thì \(y'>0,\,\forall x\in \left( 1;+\infty \right)\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-6x+m>0,\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty \right).\) Xét hàm số \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x\) trên \(\left( 1;+\infty \right).\) Ta có \(f\left( x \right)=3{{x}^{2}}-6x=3{{\left( x-1 \right)}^{2}}-3>-3,\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty \right).\) Do đó nếu \(-3+m\ge 0\Leftrightarrow m\ge 3.\) thì ta có \(3{{x}^{2}}-6x+m>0,\,\,\forall x\in \left( 1;+\infty \right).\) Hay hàm số đã cho tăng trên \(\left( 1;+\infty \right).\) Chọn đáp án A.