Cho \(y= \frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-5x+7} \) Gọi \(Q,P \) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của \(y. \) Khi đó: A.\(Q=0\) B.\(P=0\) C. \(Q=\frac{28}{3}\) D. \(P=2\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết:Lời giải chi tiết. Ta có : \(y=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-5x+7}\Leftrightarrow y\left( {{x}^{2}}-5x+7 \right)={{x}^{2}}\Leftrightarrow \left( y-1 \right){{x}^{2}}-5yx+7y=0\,\,\left( 1 \right).\) \(y\) thỏa mãn \(y=\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}-5x+7}\) khi và chỉ khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm. Trường hợp 1. \(y=1\) khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(-5x+7=0\Leftrightarrow x=\frac{7}{5}.\) Trường hợp 2. \(y\ne 1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi \(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {5y} \right)^2} - 4.\left( {y - 1} \right).\left( {7y} \right) \ge 0\\ \Leftrightarrow 25{y^2} - 4\left( {7{y^2} - 7y} \right) \ge 0 \Leftrightarrow - 3{y^2} + 28y \ge 0\\ \Leftrightarrow 3{y^2} - 28y \le 0 \Leftrightarrow y\left( {3y - 28} \right) \le 0 \Leftrightarrow y\left( {y - \frac{{28}}{3}} \right) \le 0 \Leftrightarrow 0 \le y \le \frac{{28}}{3}.\end{array}\) Với \(y=0.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 0-1 \right){{x}^{2}}-5.0.x+7.0=0\Leftrightarrow -{{x}^{2}}=0\Leftrightarrow x=0.\) Với \(y=\frac{28}{3}.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( \frac{28}{3}-1 \right){{x}^{2}}-5.\frac{28}{3}.x+7.\frac{28}{3}=0\Leftrightarrow \frac{25}{3}{{x}^{2}}-\frac{140}{3}x+\frac{196}{3}=0\Leftrightarrow {{\left( 5x-14 \right)}^{2}}=0\Leftrightarrow x=\frac{14}{5}.\) Vậy giá trị lớn nhất của \(y\) là \(\frac{28}{3}\) đạt được tại \(x=\frac{14}{5}\) giá trị nhỏ nhất của \(y\) là \(0\) đạt được tại \(x=0.\) Chọn đáp án A.