a) Do$ M$ là điểm đối xứng của $D$ qua $AB$

$\Rightarrow MD\bot AB$ mà $E=DM\cap AB\Rightarrow DE\bot AB$

$\Rightarrow \widehat{DEA}=90^o$

Tương tự với $N$ là điểm đối xứng của $D$ qua $AC$

$DN\bot AC$ và $F=DN\cap AC$

$\Rightarrow DF\bot AC$

$\Rightarrow \widehat{DFA}=90^o$

Tứ giác $AEDF$ có $\widehat{A}=\widehat {DEA}=\widehat{DFA}=90^o$

$\Rightarrow AEDF$ là hình chữ nhật.

b) $\Delta ABC$ có $D$ là trung điểm của $BC$

$DE\parallel AC$ (vì cùng $\bot AB$)

$\Rightarrow DE$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow E$ là trung điểm của $AB$

Tứ giác $ADBM$ có 2 đường chéo $AB$ và $MD$ cắt nhau tại trung điểm $E$ của mỗi đường nên $ADBM$ là hình bình hành

Lại có $\Delta ABC\bot A$, $AD$ là trung tuyến

$\Rightarrow AD=\dfrac{1}{2}BC=BD=CD$

Tứ giác $ADBM$ là hình bình hành có $AD=DB$

$\Rightarrow ADBM$ là hình thoi.

c) Tứ giác $AEDF$ là hình chữ nhật để $AEDF$ là hình vuông thì $AE=AF$

Mà $AE=\dfrac{1}{2}AB$

$D$ là trung điểm cạnh $BC$ và $DF\parallel AB$ (vì cùng $\bot AC$)

$\Rightarrow DF$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\Rightarrow F$ là trung điểm của $AC\Rightarrow AF=\dfrac{1}{2}AC$

$AE=AF\Rightarrow \dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC$

$\Rightarrow AB=AC$

$\Rightarrow \Delta ABC$ vuông cân tại $A$.

d) Hình chữ nhật $AEDF$ gọi $O=AD\cap EF$

Khi đó $O$ là trung điểm của $AD$ và $EF$ (*)

Ta có: $MD\parallel AC$ (1) (vì cùng $\bot AB$)

$AM\parallel BD$ (do tứ giác $ADBM$ là hình thoi) $\Rightarrow AM\parallel DC$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $ACDM$ là hình bình hành (tứ giác có 2 cặp cạnh đối song song)

$\Rightarrow $ 2 đường chéo $AD,MC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường có $O$ là trung điểm $AD$

$\Rightarrow O$ là trung điểm của $MC$ (**)

Tứ giác $ABDN$ có $AB\parallel DN$ (do cùng $\bot AC$)

Và $AB=2AE$, $DN=2DF$ mà $AE=DF\Rightarrow AB=DN$ (vì cùng bằng 2 lần 2 cạnh bằng nhau)

$\Rightarrow BENF$ là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối diện song song bằng nhau $AB\parallel=DN$)

$\Rightarrow $ 2 đường chéo $EF, BN$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường có $O$ là trung điểm $EF\Rightarrow O$ là trung điểm của $BN$ (***)

Từ (*), (**) và (***) ta được $EF,AD,MC,BN$ đồng quy tại $O$ trung điểm mỗi đường.