Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A \left( {1; - 1;0} \right); \, \,B \left( {1;0; - 2} \right); \, \,C \left( {3; - 1; - 1} \right) \). Tính khoảng cách từ điểm \(A \) đến đường thẳng \(BC? \)
A.\(\frac{{\sqrt {21} }}{6}\)
B.\(\frac{{\sqrt {14} }}{2}\)
C.\(\frac{{\sqrt {21} }}{2}\)
D.\(\frac{{\sqrt 7 }}{2}\)

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \( \left( S \right): \, \,{x^2} + {y^2} + {z^2} - 2y - 2z - 1 = 0 \) và mặt phẳng \( \left( P \right): \, \,2x + 2y - 2z + 15 = 0 \). Khoảng cách ngắn nhất giữa điểm \(M \) trên \( \left( S \right) \) và điểm \(N \) trên \( \left( P \right) \) là:
A.\(\frac{{3\sqrt 3 }}{2}\)
B.\(\frac{{3\sqrt 2 }}{3}\)
C.\(\frac{3}{2}\)
D.\(\frac{2}{3}\)

Cho số phức \(z \) thỏa mãn \(z \left( {1 + i} \right) = 3 - 5i \). Tính môđun của \(z \).
A. \(\left| z \right|=\sqrt{17}\). 
B.\(\left| z \right|=16\). 
C.\(\left| z \right|=17\).
D. \(\left| z \right|=4\).

Cho các số thực dương \(a \), \(x \), \(y \) và \(a \ne 1 \). Khẳng định nào sau đây là đúng?
A.\({{\log }_{a}}\left( xy \right)=y{{\log }_{a}}x\).  
B.                              \({{\log }_{a}}\left( xy \right)={{\log }_{a}}x-{{\log }_{a}}y\).
C.\({{\log }_{a}}\left( xy \right)={{\log }_{a}}x+{{\log }_{a}}y\). 
D.                       \({{\log }_{a}}\left( xy \right)={{\log }_{a}}x.{{\log }_{a}}y\).

Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \( \mathbb{R} \)
A.\(y=2{{x}^{4}}+4x+1\).        
B.\(y=\frac{2x-1}{x-1}\).                
C.\(y = {x^3} + 3x + \sqrt[3]{4}\)
D.\(y={{x}^{3}}-3x+1\).

Cho hình chóp \(S.ABCD \) có đáy \(ABCD \) là hình chữ nhật \(AB = a, \) \(AD=a \sqrt{3} \). Cạnh bên \(SA \) vuông góc với đáy và \(SA = 2a \). Tính khoảng cách \(d \) từ điểm \(C \) đến mặt phẳng \( \left( SBD \right). \)
A.\(d = \frac{{2a\sqrt {57} }}{{19}}\).
B.\(d=\frac{2a}{\sqrt{5}}\).
C.\(d = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).
D.\(\frac{{a\sqrt {57} }}{{19}}.\)

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có bảng biến thiên như hình dưới dây. Hỏi hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A. \(\left( {0; + \infty } \right)\)
B.. \(\left( -\infty ;0 \right)\). 
C.\(\left( -1;0 \right)\). 
D.\(\left( { - 1;2} \right)\).

Đường thẳng \(x = 1 \) là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số nào trong các hàm số sau đây ?
A.\(y = \frac{{2x - 3}}{{x - 1}}\). 
B.\(y = \frac{{3x + 2}}{{3x - 1}}\).                   
C.  \(y = \frac{{x + 3}}{{x + 1}}.\)                      
D. \(y = \frac{{x - 1}}{{{x^2} + 1}}.\)

Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz \) cho mặt cầu \( \left( S \right):{{ \left( x-1 \right)}^{2}}+{{ \left( y+1 \right)}^{2}}+{{ \left( z-2 \right)}^{2}}=16 \) và điểm \(A \left( 1;2;3 \right). \) Ba mặt phẳng thay đổi đi qua A và đôi một vuông góc với nhau, cắt mặt cầu theo ba đường tròn. Tính tổng diện tích của ba hình tròn tương ứng đó.
A. \(10\pi .\)                   
B. \(38\pi .\)                   
C. \(33\pi .\)                   
D. \(36\pi .\)

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(a,\) \(SAD\) là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD (tham khảo hình vẽ bên). Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.CMN.\)
A.          \(R=\frac{a\sqrt{93}}{12}.\)             
B.             \(R=\frac{a\sqrt{37}}{6}.\)               
C.             \(R=\frac{a\sqrt{29}}{8}.\)               
D.             \(R=\frac{5a\sqrt{3}}{12}.\)