Trong 13 số nguyên bất kì có ít nhất 1 số nguyên dương ( vì nêu tất cả đều âm thì tổng 4 số bất kì không thể là số dương ) . Gọi số dương đó là a1 , các số dương còn lại là a2 ; a3 ; a4 ; - ; a13 . Ta có : a1 + a2 ; a3 ; a4 ; - ; a13 = a1 + ( a2 + a3 + a4 + a5 ) + - + ( a10 + a11 + a12 + a13 ) . Vì a1 > 0 ; a2 + a3 + a4 + a5 > 0 ; ... ; a10 + a11 + a12 + a13 > 0 . ⇒ a1 + ( a2 + a3 + a4 + a5 ) + - + ( a10 + a11 + a12 + a13 ) > 0 . ⇒ Tổng 13 số đó là số nguyên dương .