a) Ta xét
$AB^2 + AC^2 = 9^2 +12^2 = 225 = 15^2 = BC^2$
Vậy theo Định lý đảo của Pytago, ta có tam giác ABC vuông tại A.
b) Áp dụng hệ thức lượng ta có
$AH.BC = AB.AC$
Vậy $AH = \dfrac{36}{5}$ (cm)
Áp dụng hệ thức lượng tiếp ta có
$AB^2 = BH.BC$
Vậy $BH = \dfrac{27}{5}$ (cm)
Do đó $CH = BC - BH = \dfrac{48}{5}$
c) Xét tứ giác AEHF có
$\widehat{HEA} = \widehat{EAF} = \widehat{AFH} = 90^{\circ}$
Vậy tứ giác AEHF là hình chữ nhật, suy ra AH = EF.
Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác ABC ta có
$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}$
Do AH = FE nên ta có
$\dfrac{1}{EF^2} = \dfrac{1}{AB^2} + \dfrac{1}{AC^2}$
d) Áp dụng Pytago cho tam giác BAC ta có
$AB^2 + AC^2 = BC^2$
$<-> AB . \dfrac{AB}{BC} + AC. \dfrac{AC}{BC} = BC$
Lại có $\dfrac{AB}{BC} = \cos(\widehat{B})$ và $\dfrac{AC}{BC} = \cos(\widehat{C})$ nên
$AB . \cos (\widehat{B}) + AC . \cos(\widehat{C}) = BC$.
e) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác AHB vuông tại H và HE là đường cao nên
$AH^2 = AE.AB$.
CMTT cho tam giác vuông AHC ta có
$AH^2 = AF.AC$.
Vậy $AE.AB = AF.AC$ ($= AH^2$).
Từ đẳng thức
$AH^2 = AE.AB$
Vậy $AE = \dfrac{144}{25}$ (cm)
CMTT ta tính đc $AF = \dfrac{108}{25}$
Xét tam giác vuông AEF có
$S_{AEF} = \dfrac{1}{2} . AE.AF = \dfrac{7776}{625}$ ($cm^2$)
Khi đó
$S_{BEFC} = S_{ABC} - S_{AEF}$
$= \dfrac{1}{2} . AB . AC - S_{AEF}$
$= \dfrac{25974}{625}$ ($cm^2$)
