Giải thích các bước giải:
$+n=0\rightarrow n^2+3n+3=3 \text{ Không là lập phương của một số}$
$+n=1\rightarrow n^2+3n+3=7 \text{ Không là lập phương của một số}$
$\rightarrow n>1$
$\text{Vì n là lập phương suy ra }n=a^3 \rightarrow a>1$
$\rightarrow P=n^2+3n+3=a^6+3a^3+3\rightarrow P>a^6(1)$
$\text{Xét }(a^2+1)^3-P=(a^2+1)^3-(a^6+3a^3+3)=3a^3(a-1)+3(a^2-1)+1 > 0 \text{(Do a>1)}$
$\rightarrow P<(a^2+1)^3(2)$
$\text{Từ (1) và (2) suy ra }(a^2)^3<P<(a^2+1)^3\rightarrow \text{P không là lập phương của 1 số}$
$\rightarrow n^2+3n+3\text{ không phải lập phương }$
