Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình \({{ \log }_{2}} \left( \frac{2{{x}^{2}}+1}{2x} \right)+{{2}^{ \left( x+ \frac{1}{2x} \right)}}=5. \) A. \(0.\) B.\(2.\) C. \(1.\) D. \(\frac{1}{2}.\)
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:Điều kiện \(\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}>0\Leftrightarrow x>0.\) Đặt \(t=\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=x+\frac{1}{2x}.\) Phương trình đã cho trở thành \({{\log }_{2}}t+{{2}^{t}}=5.\) Các hàm số \({{\log }_{2}}t,\,{{2}^{t}}\) là các hàm số đồng biến, hơn nữa \({{\log }_{2}}2+{{2}^{2}}=5\) do đó \(t=2\) là nghiệm duy nhất của phương trình \({{\log }_{2}}t+{{2}^{t}}=5.\) Khi đó \(\frac{2{{x}^{2}}+1}{2x}=2\Leftrightarrow \left\{ \begin{align}& 2{{x}^{2}}+1=4x \\& x\ne 0 \\\end{align} \right.\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}-4x+1=0.\) Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \(\left( \Delta '={{2}^{2}}-2=2>0 \right).\) Áp dụng định lý Vi-et ta có tích hai nghiệm của phương trình đã cho là \(\frac{1}{2}.\) Chọn đáp án D.