Câu 1 :  Các số đó là $20, 41, 62, 83$

Ta gọi số đó là $ab$ $(a × b < 10$, $a$ khác $0$ $)$

Ta có : $ab = $($ $a + b$ $)$ $× 7 + 6$

$a × 3 = b × 6 + 6$ $($ giảm $2$ vế cho $a × 7$ và $b$ $ $)$

$a = b × 2 + 2$ $($ chia 2 vế cho $3$ $)$

$a = 2 × $($ $b + 1$ $)$

Nếu $b = 0$ thì $a = 0$

Nếu $b = 1$ thì $a = 4$

Nếu $b = 2$ thì $a = 6$

nếu $b = 3$ thì $a = 8$

Vậy các số cần tìm là 20, 41, 62, 83.

Câu 2 : Số đó là $15$

Ta gọi số đó là $ab$ $($ $a > 0 ; a, b$ là chữ số, $< 10$ $)$

Viết thêm vào chữ số $0$, ta được $a0b$

Ta có :

$ab$ × $7$ $=$ $a0b$

$( a × 10 + b ) × 7 = a × 100 + b$

$a × 70 +b × 7 = a × 100 + b$

$a × 30 = b × 6$

$a × 5 = b$

Vì b là chữ số nên $a$ × $5$ $=$ $b$ ; $b$ phải là số có $1$ chữ số.

Vậy $a$ chỉ có thể là $1$, vì $a = 2$ $× 5 = 10$ $=>$ $2$ chữ số $=>$ $($ loại $)$ 

Ta có : $ a × 5 = b,$ vậy $b$ $= 1 × 5 = 5$

$a : 1 ; b : 5$

Số cần tìm là $15$.

Đáp án:

 Câu 1. Vậy các số tìm được là : 20; 41; 62 và 83.

Câu 2. Số cần tìm là : 15.

Giải thích các bước giải:

Câu 1. Gọi số cần tìm là \(\overline {ab} \)

Vì số đó hơn 7 lần tổng các chữ số của nó là 6 đơn vị nên ta có : 

\(\overline {ab}  - 7 \times \left( {a + b} \right) = 6\)

Mà \(\overline {ab}  = 10a + b\) nên ta được :

\(\begin{array}{l}
10a + b - 7a - 7b = 6\\
hay\,3a - 6b = 6
\end{array}\)

Khi \(3a-6b=6\) thì ta có thể viết thành \(a-2b=2\) hay \(a=2+2b\)

Vậy các số có chữ số hàng chục bằng 2 lần chữ số hàng đơn vị thêm 2 đơn vị sẽ thỏa mãn điều kiện bài toán. Các số đó là : 

+) b = 0 thì a = 2 + 2 x 0  = 2. Ta được số 20.

+) b = 1 thì a = 2+ 2 x 1= 4. Ta được số 41.

+) b = 2 thì a = 2 + 2 x 2 = 6. Ta được số 62.

+) b = 3 thì a = 2+ 2 x 3 = 8. Ta được số 83.

+) b = 4 thì a = 2 + 2 x 4 = 10 (không thỏa mãn)

Vậy các số tìm được là : 20; 41 ; 62 và 83.

Câu 2. Gọi số cần tìm là \(\overline {cd} \)

Khi viết xen giữa chữ số 0 vào giữa hai chữ số của số đó thì ta được số mới gấp 7 lần số cũ :

\(\begin{array}{l}
100 \times c + d = 7 \times \left( {10 \times c + d} \right)\\
100 \times c + d = 70 \times c + 7 \times d\\
30 \times c = 6 \times d\\
5 \times c = d
\end{array}\)

Vậy các số cần tìm có dạng chữ số hàng đơn vị gấp 5 lần chữ số hàng chục.

Số cần tìm là : 15.