Đáp án:
$AK = 2,88\,cm.$
Giải thích các bước giải:
a) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) có đường trung tuyến \(AM\)
\( \Rightarrow AM = BM = MC\) (tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).
\( \Rightarrow \Delta AMC\) cân tại \(M \Rightarrow \angle MAC = \angle MCA.\)
Lại có: \(\angle BAH = \angle HCA\) (cùng phụ với \(\angle ABH\))
\( \Rightarrow \angle BAH = \angle MAC\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
b) Ta có: \(\angle DBH = \angle DHA\) (cùng phụ với \(\angle BHD\))
Mà \(\angle DHA = \angle DEA\) (do \(ADHE\) là hình chữ nhật)
Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}\angle AHD + \angle DAH = {90^0}\\\angle DAH = \angle MAE\,\,\,\left( {cm\,\,a} \right)\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \angle KEA + \angle KAE = {90^0}\) hay \(AM \bot DE = \left\{ K \right\}\,\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
c) Xét \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) ta có: \(A{H^2} = BH.CH = 4,5.8 = 36 \Rightarrow AH = 6cm.\)
\(\begin{array}{l}A{B^2} = BH.BC = 4,5\left( {4,5 + 8} \right) = 56,25 \Rightarrow AB = 7,5\,\,cm.\\A{C^2} = B{C^2} - A{B^2} = {\left( {4,5 + 8} \right)^2} - 56,25 = 10\,\,cm.\end{array}\)
\(ADHE\) là hình chữ nhật \( \Rightarrow AH = DE = 6cm.\)
Ta có:
\( \Leftrightarrow \frac{{AD}}{{10}} = \frac{{AE}}{{7,5}} = \frac{6}{{12,5}} = \frac{{12}}{{25}} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AD = 4,8\,\,cm\\AE = 3,6\,\,cm\end{array} \right..\)
Xét \(\Delta AED\) ta có:
\(AK = \frac{{AD.AE}}{{\sqrt {A{D^2} + A{{\rm{E}}^2}} }} = \frac{{4,8.3,6}}{{\sqrt {4,{8^2} + 3,{6^2}} }} = 2,88\,\,cm.\)
\(AK = 2,88\,cm.\)
