Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số \(f \left( x \right) = 6 \sqrt {{x^2} - 6x + 12} + 6x - {x^2} - 4 \). Tính tích các nghiệm của phương trình \(f \left( x \right) = M \). A. -6 B. 3 C. -3 D. 6
Đáp án đúng: B Giải chi tiết:\(\begin{align} f\left( x \right)=6\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}+6x-{{x}^{2}}-4 \\ f\left( x \right)=6\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}-\left( {{x}^{2}}-6x+12 \right)+8 \\ \end{align}\) Đặt \(t=\sqrt{{{x}^{2}}-6x+12}=\sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+3}\ge 3\), khi đó ta có \(f\left( t \right)=-{{t}^{2}}+6t+8\,\,\forall t\ge 3\). Ta có \(f'\left( t \right)=-2t+6=0\Leftrightarrow t=3\). BBT :
\(\begin{align} \Rightarrow \underset{\left[ 3;+\infty \right)}{\mathop{\max }}\,f\left( t \right)=17\Leftrightarrow t=3\Leftrightarrow \sqrt{{{\left( x-3 \right)}^{2}}+3}=3\Leftrightarrow x=3 \\ \Rightarrow \max f\left( x \right)=17=M\Leftrightarrow x=3 \\ \end{align}\) Vậy phương trình \(f\left( x \right)=M\) có nghiệm duy nhất \(x=3\), do đó tích các nghiệm của chúng bằng 3. Chọn B.