Bài 1

a) Ta có

$f(x) = x^3 - 3x^2 - 3x - 1$

$= x^3 -1 - 3x^2- 3x-3 + 3$

$= (x-1)(x^2 + x + 1) - 3(x^2 + x + 1) + 3$

$= (x^2 + x + 1)(x-4) + 3$

Ta thấy rằng $(x^2 +x + 1)(x-4)$ chia hết cho $g(x) = x^2 + x+ 1$.

Vậy để $f(x)$ chia hết cho $g(x) = x^2 +x+1$ thì 3 phải chia hết cho $x^2 + x + 1$

Do đó

$x^2 + x + 1 \in \{\pm 1, \pm 3\}$

Giải ra ta có

$x \in \{-2, -1,0,1\}$

b) Ta có

$f(x) = (x+2)(x+4)(x+6)(x+80) + 2020$

$= (x+2)(x+8)(x+4)(x+6) + 2020$

$= (x^2 + 10x + 16)(x^2 + 10x + 24) + 2020$

Đặt $t = x^2 + 10x$, $t \geq -25$. Khi đó, ta có

$f(x) = (t+16)(t+24) + 2020$, $g(x) = t+21$

Lại có

$f(x) = (t+16)(t+24) + 2020$

$= t^2 + 40t + 2404$

$= t^2 + 21t + 19t + 399 + 2005$

$= t(t+21) + 19(t+21) + 2005$

$= (t+19)(t+21) + 2005$

Ta thấy rằng $(t+19)(t+21)$ chia hết cho $t + 21$

Vậy dư của phép chia $f(x)$ cho $g(x)$ là 2005.

Bài 2

a) Ta có

$x^3 +y^3 - 3xy = 1$

$<-> (x+y)^3 - 3xy(x+y) - 3xy = 1$

$<-> (x+y)^3+1 - 3xy(x+y+1) = 2$

$<-> (x+y+1)[(x+y)^2 - (x+y) + 1] - 3xy(x+y+1) = 2$

$<-> (x+y+1)(x^2 + 2xy + y^2 - x - y + 1 - 3xy) = 2$

$<-> (x+y+1)(x^2 + y^2 - xy - x - y +1) = 2$

$<-> (x+y+1)(2x^2 + 2y^2 -2xy - 2x - 2y + 2) = 4$

$<-> (x+y+1)[(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2] = 4$

$<-> (x+y+1)[(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2] = 4.1 = 2.2$

Do $x,y$ là các số tự nhiên nên $x ,y \geq 1$

Nếu $x = y = 1$ thì ta suy ra 

$VT = (1 + 1 + 1).0 = 0 \neq 4$

Vậy $x$ và $y$ ko đồng thời bằng 1

Do đó $x + y + 1 > 1 + 1 + 1 = 3$. 

Lại có $(x+y+1)[(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2] = 4$
Vậy $x + y + 1 \leq 4$.

Do đó

$x + y + 1 = 4$ (1)

và

$(x-y)^2 + (x-1)^2 + (y-1)^2 = 1$

Từ (1) ta suy ra $x + y = 3$. Vậy ta có 

$(x,y) \in \{ (1,2), (2,1)\}$

TH1: $x = 1, y = 2$

Khi đó, thay vào thừa số sau ta có

$(1-2)^2 + (1-1)^2 + (2-1)^2 = 2 \neq 1$

Do đó, (1,2) ko là nghiệm nguyên của ptrinh

TH2: $x = 2,y=1$

Khi đó, thay vào thừa số sau ta có

$(2-1)^2 + (2-1)^2 + (1-1)^2 = 2 \neq 1$

Vậy $(1,2)$ cũng ko là nghiệm nguyên của ptrinh.

Do đó ptrinh ko có số tự nhiên nào thỏa mãn.

b) Ta có

$y^2 + 4^x + 2y - 2^{x+1} + 2 = 0$

$<-> y^2 + 2y + 1 + (2^2)^x -2.2^x + 1= 0$

$<-> (y+1)^2 + (2^x)^2 - 2.2^x + 1 = 0$

$<-> (y+1)^2 + (2^x-1)^2 = 0$

Ta thấy rằng

$(y+1)^2 + (2^x-1)^2 \geq 0$ với mọi $x, y$

Tuy nhiên, do $y$ là số tự nhiên nên $y + 1 > 0$ với mọi $y$.

Do đó

$(y+1)^2 + (2^x-1)^2 > 0$ với mọi $x,y$.

Vậy ko có số $x,y$ nào thỏa mãn điều kiện đề bài.