Đáp án:

 x=4

Giải thích các bước giải:

ĐK: x ≥3/2

Ta có:

\[\begin{array}{l}
\sqrt {2x - 3}  - \sqrt {x + 1}  = x - 4\\
 \Leftrightarrow \frac{{\left( {\sqrt {2x - 3}  - \sqrt {x + 1} } \right)\left( {\sqrt {2x - 3}  + \sqrt {x + 1} } \right)}}{{\sqrt {2x - 3}  + \sqrt {x + 1} }} = x - 4\\
 \Leftrightarrow \frac{{2x - 3 - x - 1}}{{\sqrt {2x - 3}  + \sqrt {x + 1} }} = x - 4\\
 \Leftrightarrow \frac{{x - 4}}{{\sqrt {2x - 3}  + \sqrt {x + 1} }} = x - 4\\
 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\left( {t/m} \right)\\
\sqrt {2x - 3}  + \sqrt {x + 1}  = 1(1)
\end{array} \right.\\
\left( 1 \right) \Leftrightarrow 2x - 3 + x + 1 + 2\sqrt {\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}  = 1\\
 \Leftrightarrow 3x - 2 + 2\sqrt {\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}  = 1\\
 \Leftrightarrow 2\sqrt {\left( {2x - 3} \right)\left( {x + 1} \right)}  = 3\left( {1 - x} \right)\\
 \Rightarrow 1 - x \ge 0 \Rightarrow x \le 1\left( L \right)
\end{array}\]

ĐK: $x \geq \dfrac{3}{2}$

Đặt $a = \sqrt{2x-3}, b = \sqrt{x+1}$, $a, b \geq 0$

Lại có

$2x-3 -(x+1) = x - 4$

Khi đó, ptrinh trở thành

$a - b = a^2 - b^2$

$<-> (a-b)(a+b) - (a-b) = 0$

$<-> (a-b)(a+b-1) = 0$
Vậy $a = b$ hoặc $a + b = 1$

TH1: $a = b$

Khi đó, ta có

$2x - 3 = x+1$

$<-> x = 4$ (thỏa mãn)\

TH2: $a + b = 1$

Khi đó, ptrinh trở thành

$\sqrt{2x-3} + \sqrt{x+1} = 1$

$<-> 3x-2 + 2\sqrt{(2x-3)(x+1)} = 1$

$<-> 2\sqrt{2x^2 -x -3} = 3-3x$

ĐK: $x \leq 1$. Bình phương 2 vế ta có

$4(2x^2 - x - 3) = 9(x^2 - 2x + 1)$

$<-> x^2 -14x +21 = 0$

Vậy $x = 7 + 2\sqrt{7}$ (loại) hoặc $x = 7 - 2\sqrt{7}$ (loại)

Vậy tập nghiệm của ptrinh $S = \{ 4\}$