Đáp án:
Bạn tham khảo nhé!
Giải thích các bước giải:
a) Ta có: AB và AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A
=> AB = AC (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
=> A thuộc đường trung trực của BC.
Lại có OB = OC = R
=> O thuộc đường trung trực của BC.
=> AO là đường trung trực của BC (đpcm).
=> AO vuông góc với BC tại H.
b) Xét tam giác ABO vuông tại B có đường cao BH ta có:
\(B{H^2} = AH.OH\) (hệ thức lượng trong tam giác vuông).
Mà \(AO \bot BC = \left\{ H \right\} \Rightarrow H\) là trung điểm của BC
Hay \(BH = CH \Rightarrow B{H^2} = BH.CH = AH.HO\) (đpcm).
c) Ta có: I thuộc AO nên I thuộc đường trung trực của BC
Mà I thuộc đường tròn (O) => I là điểm chính giữa cung BC
=> Cung BI = cung IC
Mà góc ABI là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung IB
Góc IBC là góc nội tiếp chắn cung IC
=> Góc ABI = góc IBC (hai góc bằng nhau chắn 2 cung bằng nhau).
=> BI là tia phân giác của góc ABH.
Áp dụng tính chất tia phân giác ta có: \(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AI}}{{IH}}.\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: Góc IBK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn => góc IBK = 90 độ
Hay IB vuông góc với BK.
=> BK là phân giác ngoài của goác ABH.
Áp dụng tính chất tia phân giác ta có: \(\frac{{AB}}{{BH}} = \frac{{AK}}{{HK}}\,\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{{AI}}{{IH}} = \frac{{AK}}{{HK}}\left( { = \frac{{AB}}{{BH}}} \right) \Leftrightarrow AI.HK = IH.AK\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)
