Bài 1
b) Do $x,y,z$ là 3 số tự nhiên và $x, y, z$ khác nhau nên phải có một số là bé nhất trong 3 số.
Giả sử $z < y< x$. Khi đó, ptrinh trở thành
$2^z(2^{x-z} + 2^{y-z} + 1) = 138$
$<-> 2^z(2^{x-z} + 2^{y-z} + 1) = 2.69$
Ta thấy $2^{x-z} + 2^{y-z}+1$ là số lẻ nên
$2^{x-z} + 2^{y-z}+1 = 69$
và $2^z = 2$, suy ra $z = 1$. Khi đó, ptrinh trở thành
$2^{x-1} + 2^{y-1} = 68$
$<-> 2^{y-1} (2^{x-y}+1) = 2^2.17$
Ta thấy rằng $2^{x-y}+1$ là một số lẻ, do đó
$2^{x-y} + 1 = 17$ (1)
và $2^{y-1} = 2^2$, vậy $y - 1 = 2$ hay $y = 3$.
Từ đẳng thức (1), ta suy ra
$2^{x-3} = 16 = 2^4$
Do đó $x-3 = 4$ hay $x = 7$
Do vai trò của $x,y,z$ là giống nhau nên ta có thể đảo chỗ 3 số đó với nhau.
Vậy tập nghiệm $S = \{ (7,3,1), (7,1,3), (3,7,1), (3,1,7), (1,3,7), (1,7,3)\}$
Bài 2
Gọi số cần tìm là $x$. Khi đó $x$ chia 4 dư 3, chia 5 dư 4 và chia 7 dư 6. Do đó $x+1$ chia hết cho 4, 5, và 7
Vậy $x+1$ là một bội chung của $4, 5, 7$, do đó là một bội của $BCNN(4,5,7)$
Ta có
$BCNN(4,5,7) = 140$
Vậy $x + 1 \in \{140k| k \in \mathbb{N}^*\}$
Do đó
$x \in \{ 140k-1| k \in \mathbb{N}^*\}$.
