Đáp án:
\(\left( {{e^x} + 1} \right)\left[ {\ln \left( {{e^x} + 1} \right) - 1} \right] + C\)
Giải thích các bước giải:
\(\begin{array}{l}
I = \int\limits_{}^{} {{e^x}\ln \left( {{e^x} + 1} \right)dx} \\
Dat\,\,t = {e^x} + 1 \Rightarrow dt = {e^x}dx\\
\Rightarrow I = \int\limits_{}^{} {\ln tdt} \\
Dat\,\,\left\{ \begin{array}{l}
u = \ln t\\
v = dt
\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
du = \frac{{dt}}{t}\\
v = t
\end{array} \right.\\
\Rightarrow I = t.\ln t - \int\limits_{}^{} {t.\frac{{dt}}{t}} + C\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = t.\ln t - \int\limits_{}^{} {dt} + C\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = t\ln t - t + C = t\left( {\ln t - 1} \right) + C\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \left( {{e^x} + 1} \right)\left[ {\ln \left( {{e^x} + 1} \right) - 1} \right] + C
\end{array}\)
