Tìm diện tích lớn nhất của hình chữ nhật nội tiếp trong nửa đường tròn bán kính 10cm, biết một cạnh của hình chữ nhật nằm dọc trên đường kính của đường tròn. A.80\(c{m^2}\). B.100\(c{m^2}\). C.160\(c{m^2}\). D.200\(c{m^2}\).
Đáp án đúng: A Giải chi tiết: Đặt \(OD = OC = x.\)(x>0) \( \Rightarrow AD = \sqrt {O{A^2} - O{D^2}} = \sqrt {100 - {x^2}} \) Ta có diện tích hình chữ nhật ABCD là \(S = AD.DC = 2x\sqrt {100 - {x^2}} \). \(\begin{array}{l}S' = 2\sqrt {100 - {x^2}} + 2x.\frac{{ - 2x}}{{\sqrt {100 - {x^2}} }}\\S' = 0 \Leftrightarrow 100 - {x^2} = {x^2} \Leftrightarrow x = 2\sqrt 5 .\end{array}\) Khi đó giá trị lớn nhất của S là \(S = 2.2\sqrt 5 .\sqrt {100 - {{\left( {2\sqrt 5 } \right)}^2}} = 80c{m^2}\) Chọn A.