Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 4 , (C) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. (HS tự làm) Tìm k để đường thẳng d : y = kx + k cắt đồ thị (C) tại 3 điểm phân biệt A(-1;0) , M, N và MN ≤ 2√2 A.1 < k ≤ 2 B.-1 < k ≤ 0 C.-1 < k ≤ 1 D.0 < k ≤ 1
Đáp án đúng: D Giải chi tiết:* TXĐ : R * = +∞; y = -∞ * y' = 3x2 – 6x y' = 0 ⇔ x = 0, x = 2 * Bảng BT :
*Trả lời : hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞; 0) và (2;+∞) hs nghịch biến trên (0;2) Điểm cực đại (0;4) Điểm cực tiểu (2,0) * Vẽ đồ thị (HS tự vẽ) *Phương trình hoành độ giao điểm : x3– 3x + 4 = k(x + 1) ⇔ (x2 – 4x + 4 – k)(x + 1) = 0 ⇔ x = -1; g(x) = x2 – 4x + 4 – k = 0 Đường thẳng (d) cắt (C) tại ba điểm phân biệt A(-1;0);M, N khi g(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 ≠ -1 ⇔ ∆’ = k > 0 và g(-1) = 9 – k ≠ 0 ⇔ 0 < k ≠ 9 gọi *MN2 = (x2 – x1)2 + [kx2 + k – kx1 – k]2 (x2 – x1)2 + k2(x2 – x1)2 = (k2 + 1)[(x1 + x2)2 – 4x1x2] MN ≤ 2√2 ⇔ (k2 + 1)[16 – 4(4 – k)] ≤ 8 ⇔ k3 + k – 2 ≤ 0 ⇔ (k – 1)(k2 + k + 2) ≤ 0 ⇔ k ≤ 1 Đối chiếu với điều kiện : 0 < k ≤ 1