Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ 1;+\infty \right)\) và \(\int\limits_{0}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)dx}=8\). Tích phân \(I=\int\limits_{1}^{2}{xf\left( x \right)dx}\) bằng: A.\(I=8\) B.\(I=4\) C.\(I=16\) D. \(I=2\)
Đáp án đúng: B Giải chi tiết:Đặt \(t=\sqrt{x+1}\Leftrightarrow {{t}^{2}}=x+1\Rightarrow dx=2tdt\), đổi cận \(\left\{ \begin{align} & x=0\Rightarrow t=1 \\ & x=3\Rightarrow t=2 \\ \end{align} \right.\) \(\Rightarrow \int\limits_{0}^{3}{f\left( \sqrt{x+1} \right)dx}=\int\limits_{1}^{2}{f\left( t \right)2tdt}=2\int\limits_{1}^{2}{xf\left( x \right)dx}=8\Leftrightarrow \int\limits_{1}^{2}{xf\left( x \right)dx}=4\) Chọn B.