Giải thích các bước giải:
a$\neq$ b$\neq$ c thỏa $\frac{a}{b-c}$ + $\frac{b}{c-a}$ + $\frac{c}{a-b}$ = 0
⇔ a(c-b)(a-b) + b(a-b)(b-c) + c.(b-c).(c-a) = 0
⇔ -a.(a-b).(a-c) - b.(b-a).(b-c) - c.(c-a).(c-b) =0
⇔ a.(a-b).(a-c) + b.(b-a).(b-c) + c.(c-a).(c-b) =0 (*)
từ (*) ta thây a,b,c, đối xứng nên không giam tính tổng quát giả sử rằng a>b>c≥0
(*) ⇔ (a-b).(\(a^2 - a.c - b^2 + b.c\)) + c.(c-a).(c-b) = 0
⇔ (a-b). [(a+b)(a-b) - c(a-b)] + c(c-a)(c-b) = 0
⇔ \((a-b)^2\)(a+b-c) + c(c-a)(c-b) = 0 (1)
thấy b-c >0 (do b>c) và a>0 ⇒ b-c+a > 0 ⇒ \((a-b)^2\)(a+b-c) > 0 và c(c-a)(c-b) ≥ 0
⇒ \((a-b)^2\)(a+b-c) + c(c-a)(c-b)>0 mâu thuẫn với (1)
Vậy c < 0 ( nói chung 1 trong 3 số a,b,c phải có 1 số âm)
tương tự ta chứng minh được 1 trong 3 số a,b,c, phải có 1 số âm ⇒ đpcm
