Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A kẻ đường thẳng d bất kì. Kẻ BD và CE cùng vuông góc với đường thẳng d(D và E cùng thuộc đường thẳng d). Chứng minh rằng \(A{{D}^{2}}+A{{E}^{2}}\) không phụ thuộc vào vị trí đường thẳng d. A. B. C. D.
Đáp án đúng: Giải chi tiết: Ta có: \(\widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{A}_{2}}}+\widehat{{{A}_{3}}}={{180}^{0}}\Rightarrow \widehat{{{A}_{1}}}+\widehat{{{A}_{3}}}={{180}^{0}}-\widehat{{{A}_{2}}}={{180}^{0}}-{{90}^{0}}={{90}^{0}}\) (1) Xét tam giác AEC vuông tại E ta có: \(\widehat{{{A}_{3}}}+\widehat{{{C}_{1}}}={{90}^{0}}\) (2) Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\) (cùng phụ với góc \(\widehat{{{A}_{3}}}\) ) Xét hai tam giác ABD và CAE có: \(\widehat{D}=\widehat{E}={{90}^{0}},\,AB=AC,\,\,\widehat{{{A}_{1}}}=\widehat{{{C}_{1}}}\) , suy ra \(\Delta ABD=\Delta CAE(ch\,-\,gn)\). Suy ra BD = AE (hai cạnh tương ứng) Suy ra \(A{{D}^{2}}+A{{E}^{2}}=A{{D}^{2}}+B{{D}^{2}}=A{{B}^{2}}\) (do tam giác ABD vuông tại D) Suy ra \(A{{D}^{2}}+A{{E}^{2}}\) không phụ thuộc vào vị trí của đường thẳng d.