Đáp án đúng:
Giải chi tiết:
a) Ta có: \(\Delta ABC\) cân tại A, suy ra\(AB=AC\) (tính chất tam giác cân).
Ta có:\(AM+AN=\left( ABBM \right)+\left( \text{A}C+CN \right)=2ABBM+CN\).(do \(AB=AC\))
Lại có: \(AM+AN=2AB\) (gt), nên suy ra
\(\begin{align} & 2AB-BM+CN=2AB \\ & \Leftrightarrow -BM+CN\,\,\,\,\,\,=0 \\ & \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,BM\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,=CN \\ \end{align}\)
Vậy BM = CN (đpcm).
b) Gọi\(I=MN\cap BC\) . Qua M kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại E.
Do ME // NC (cách vẽ) nên ta có:
\(\widehat{CNI}=\widehat{IME}\)(hai góc so le trong), \(\widehat{MEI}=\widehat{NCI}\)(hai góc so le trong)
Ta có: \(ME//AC\Rightarrow \widehat{MEB}=\widehat{ACB}\) (hai góc đồng vị)
Mà \(\widehat{ABC}=\widehat{BAC}\) (tam giác ABC cân tại A) \(\Rightarrow \widehat{MEB}=\widehat{MBE}\ \left( =\widehat{ACB} \right)\Rightarrow \Delta MBE\) cân tại M\(\Rightarrow ME=BN\)
\(\Rightarrow ME=CN=BN.\)
Xét \(\Delta MEI\) và \(\Delta NCI\) có:
\(\widehat{CNI}=\widehat{IME}\)(hai góc so le trong),
\(\widehat{MEI}=\widehat{NCI}\)(hai góc so le trong)
\(EM=CN\ \ \left( cmt \right)\)
\(\Rightarrow \Delta MEI=\Delta NCI\) (góc - cạnh –góc), suy ra MI = NI (hai cạnh tương ứng).
Hay I là trung điểm của MN.
c) Xét \(\Delta ABK\) và \(\Delta ACK\) có:
AB = AC (gt),
\(\widehat{BAK}=\widehat{CAK}\)(do AK là tia phân giác của\(\widehat{BAC}\),
AK là cạnh chung,
\(\Rightarrow \Delta ABK=\Delta ACK\)(cạnh – góc – cạnh).
\(\Rightarrow KB=KC\) (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{ABK}=\widehat{ACK}\) (hai góc tương ứng).
Xét \(\Delta BKM\text{ }\) và \(\Delta CKN\) có:
MB = CN (cmt),
BK = KC (cmt),
MK = KN (K nằm trên đường trung trực của MN)
\(\Rightarrow \Delta BKM=\Delta CKN\)( cạnh – cạnh – cạnh), suy ra \(\widehat{MBK}=\widehat{NCK}\)(hai góc tương ứng).
Mà \(\widehat{MBK}=\widehat{ACK}\ \ \left( cmt \right)\) \(\Rightarrow \widehat{ACK}=\widehat{KCN}\).
Mặt khác \(\widehat{ACK}+\widehat{KCN}=180{}^\circ \)(hai góc kề bù)
\(\Rightarrow \widehat{ACK}=\widehat{KCN}={{180}^{0}}:2={{90}^{0}}\)
\(\Rightarrow KC\bot AN\)(đpcm)
