Giải thích các bước giải:
Ta có: $\left ( a - b \right )^{2} \geq 0$ với mọi $a, b$
$\Leftrightarrow a^{2} - 2ab + b^{2} \geq 0$
$\Leftrightarrow a^{2} - 2ab + b^{2} + 4ab \geq 4ab$
$\Leftrightarrow a^{2} + 2ab + b^{2} \geq 4ab$
$\Leftrightarrow \left ( a + b \right )^{2} \geq 4ab$
$\Leftrightarrow \left ( a + b \right )^{2} \geq 4ab$
$\Leftrightarrow \dfrac{a + b}{ab} \geq \dfrac{4}{a + b} \left ( * \right )$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \geq \dfrac{4}{a + b}$
$\bullet A = \dfrac{1}{x^{2} + y^{2}} + \dfrac{1}{xy} = \dfrac{1}{x^{2} + y^{2}} + \dfrac{1}{2xy} + \dfrac{1}{2xy}$
Áp dụng bất đẳng thức $\left ( * \right )$ ta có:
$\dfrac{1}{x^{2} + y^{2}} + \dfrac{1}{2xy} \geq \dfrac{4}{x^{2} + 2xy + y^{2}} = \dfrac{4}{\left ( x + y \right )^{2}} = \dfrac{4}{1^{2}} = 4 \left ( 1 \right )$ (vì $x + y = 1$)
Ta có: $\left ( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right )^{2} \geq 0$ với mọi $a, b \geq 0$
$\Leftrightarrow a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$
$\Leftrightarrow a - 2\sqrt{ab} + b \geq 0$
$\Leftrightarrow 2\sqrt{ab} \leq a + b$
$\Leftrightarrow \sqrt{ab} \leq \dfrac{a + b}{2}$
$\Leftrightarrow ab \leq \left ( \dfrac{a + b}{2} \right )^{2} \left ( ** \right )$
Áp dụng bất đẳng thức $\left ( ** \right )$ ta có:
$xy \leq \left ( \dfrac{x + y}{2} \right )^{2} = \left ( \dfrac{1}{2} \right )^{2} = \dfrac{1}{4}$ (vì $x + y = 1$)
$\Leftrightarrow 2xy \leq 2.\dfrac{1}{4} = \dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2xy} \geq 2 \left ( 2 \right )$
Từ $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$ suy ra:
$A \geq 4 + 2 = 6$
Dấu "=" xảy ra khi $x = y = \dfrac{1}{2}$
