\(A\left( {1;\,\,5} \right),\,\,B\left( {3; - 1} \right),\,\,C\left( {6;\,\,0} \right)\)
a) Chứng minh \(\Delta ABC\) vuông.
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB} = \left( {2; - 6} \right)\\\overrightarrow {AC} = \left( {5;\,\, - 5} \right)\\\overrightarrow {BC} = \left( {3;\,\,1} \right)\end{array} \right.\)
Ta thấy:\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 6} \right)\left( {3;\,\,1} \right) = 2.3 - 6.1 = 0\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {AB} \bot \overrightarrow {BC} \Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại B.
b) Tìm tọa độ chân đường vuông góc kẻ từ B lên CA.
Phương trình đường thẳng CA là:
\(\frac{{x - 1}}{{6 - 1}} = \frac{{y - 5}}{{ - 5}} \Leftrightarrow - x + 1 = y - 5 \Leftrightarrow x + y - 6 = 0.\)
Ta có B’ là hình chiếu của B trên CA nên B’ thuộc CA và BB’ vuông góc với CA.
\(\begin{array}{l} \Rightarrow B'\left( {b;\,\,6 - b} \right).\\ \Rightarrow BB' \bot CA \Leftrightarrow \overrightarrow {BB'} .\overrightarrow {CA} = 0\\ \Leftrightarrow \left( {b - 3;\,\,7 - b} \right).\left( { - 5;\,\,5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow - 5\left( {b - 3} \right) + 5\left( {7 - b} \right) = 0\\ \Leftrightarrow b - 3 - 7 + b = 0\\ \Leftrightarrow 2b = 10\\ \Leftrightarrow b = 5\\ \Rightarrow B'\left( {5;\,\,1} \right)\end{array}\)
