Đáp án đúng:
Giải chi tiết:Ứng với số dư khi chia cho 3 của số nguyên dương được viết trên đoạn thẳng (một số nguyên dương khi chia cho 3 có thể dư \(0;1;2\)), ta tô màu các đoạn thẳng bằng 3 màu đỏ, xanh, vàng. Ta sẽ chứng minh tồn tại một tam giác có ba cạnh được tô cùng màu.
Gọi A là một điểm đã cho, nối A với 16 điểm còn lại ta được 16 đoạn thẳng.
Ta có: \(16 = 3.5 + 1\) nên theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất 6 đoạn thẳng được tô cùng màu.
Giả sử 6 đoạn thẳng đó là \(AB,AC,AD,AE,AF,AG\)có cùng màu đỏ.
Xét các đoạn thẳng nối từng cặp điểm trong 6 điểm \(B,C,D,E,F,G\)thì xảy ra trường hợp sau:
TH1: Tồn tại một đoạn thẳng được tô màu đỏ, chẳng hạn là BC thì tam giác ABC có ba cạnh cùng màu đỏ
TH2: Tất cả các đoạn thẳng nối \(B,C,D,E,F,G\)chỉ có màu xanh hoặc vàng.
Ta xét 5 đoạn thẳng \(BC,BD,BE,BF,BG\)được tô bởi 2 màu thì theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất 3 đoạn thẳng có cùng một màu. Giả sử \(BC,BD,BE\)có cùng màu xanh.
+) Nếu trong ba đoạn thẳng \(CD,CE,DE\)có một đoạn tô màu xanh, chẳng hạn CD thì tam giác BCD có ba cạnh cùng màu xanh.
+) Nếu trong ba đoạn thẳng \(CD,CE,DE\)không có đoạn nào tô màu xanh, thì tam giác CDE có ba cạnh màu vàng.
Do vậy tồn tại một tam giác có ba cạnh tô cùng màu, đó chính là tam giác thỏa mãn yêu cầu đề bài.
