Trên tia đối của tia CD lấy điểm M sao cho \(CM=AK\) . Ta có: \(AK+CE=CM+CE=EM\). Ta cần chứng minh \(EM=BE\) . Xét \(\Delta BAK\) và \(\Delta BCM\) có: \(AK=CM\) ( cách vẽ) \(\begin{align} & \widehat{A}=\widehat{C}=90{}^\circ (gt) \\ & BA=BC(gt) \\ & \Rightarrow \Delta BAK=\Delta BCM(c.g.c) \\ \end{align}\) \(\Rightarrow \widehat{ABK}=\widehat{CBM};\widehat{\,\,AKB}=\widehat{CMB}\) ( góc tương ứng) Mà \(\widehat{ABK}=\widehat{KBE}\) (gt) nên \(\widehat{KBE}=\widehat{CBM}\) (bắc cầu). Ta có: \(\widehat{EBM}=\widehat{EBC}+\widehat{CBM}=\widehat{EBC}+\widehat{KBE}=\widehat{KBC}=\widehat{AKB}(slt)=\widehat{CMB}\) Suy ra tam giác EBM cân tại E (định nghĩa tam giác cân). \(\begin{align} & \Rightarrow BE=EM \\ & \Rightarrow AK+CE=CM+CE=EM=BE \\ & \Rightarrow AK+CE=BE\,\,\,\,\left( dpcm \right). \\ \end{align}\)
