Xem giả thiết ở câu 13. Giả sử thêm rằng \(DF//BC.\) Khi đó \(cos\,\widehat {ABC} = ?\) A.\(\frac{{\sqrt 2 }}{4}\) B. \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) C. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) D. \(\frac{1}{2}\)
Đáp án đúng: A Giải chi tiết: Giả sử rằng tia \(FD\) cắt \(AB\) tại \(M,\) cắt \(\left( O \right)\) tại \(N.\) Theo giả thiết \(DF//BC,\) và \(AH\) là trục đối xứng của \(BC\) và của đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(F,\,D\) theo thứ tự là điểm đối xứng với \(N,\,M\) qua \(AH.\) Do đó \(FD = MN = MD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}ND = BH\,\,\left( 1 \right).\) Xét \(\Delta NDA,\,\Delta CDF\) có \(\widehat {ADN} = \widehat {CDF}\)(hai góc đối đỉnh). \(\widehat {ACF},\,\widehat {FNA}\) là hai góc nội tiếp chắn cung \(AF\) nên \(\widehat {DCF} = \widehat {DNA}\) Do đó \(\Delta NDA \sim \Delta CDF\) \( \Rightarrow \frac{{ĐÃ}}{{DF}} = \frac{{NĐ}}{{CĐ}} \Rightarrow DF.DN = ĐÃ.ĐC\,\,\left( 4 \right).\) Từ (1), (4) suy ra \(2B{H^2} = \frac{1}{4}A{C^2}\) \( \Rightarrow BH = \frac{{\sqrt 2 }}{4}AC \Rightarrow \cos \,\widehat {ABC} = \frac{{BH}}{{AB}} = \frac{{BH}}{{AC}} = \frac{{\sqrt 2 }}{4}.\) Chọn đáp án A.