Cho tứ diện đều \({\rm{A}}BC{\rm{D}}\) cạnh bằng \(a\). Khoảng cách \(d\) giữa hai đường thẳng \(A{\rm{D}}\) và \(BC\) là: A.\(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) B.\(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\) C.\(d = \frac{{a\sqrt 2 }}{3}\) D.\(d = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Đáp án đúng: B Giải chi tiết: Gọi O là trọng tâm \(\Delta ABC\) Kẻ \(AM \bot BC\) và \(MH \bot A{\rm{D}}\) Vì \(DABC\) là tứ diện đều \( \Rightarrow DO \bot \left( {ABC} \right)\) Vì \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow AO = \frac{2}{3}AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\) Xét \(\Delta DAO\) vuông tại O \(D{O^2} + O{B^2} = D{B^2}\)\( \Rightarrow DO = \frac{{a\sqrt 6 }}{3}\) Ta có: \(DO \bot BC\) và \(AM \bot BC\) \( \Rightarrow \left( {DAM} \right) \bot BC\)\( \Rightarrow MH \bot BC\) Lại có \(MH \bot DA\)\( \Rightarrow MH = d\left( {BC,DA} \right)\) Xét \(\Delta {\rm{D}}AM\), ta có: \(DO.AM = MH.A{\rm{D}}\)\( \Rightarrow MH = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow d\left( {BC,DA} \right) = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\)