Giải thích các bước giải:
Ta có:
$3\left ( x^{4}+y^{4}+z^{4} \right )-7\left ( x ^{2}+y^{2}+z^{2}\right )+12=0$
$\to 0\ge (x^2+y^2+z^2)^2-7(x^2+y^2+z^2)+12$
$\to (x^2+y^2+z^2-4)(x^2+y^2+z^2-3)\le 0$
$\to 3\le x^2+y^2+z^2\le 4$
Ta lại có $$\begin{aligned} P&=\frac{{{x}^{2}}}{y+2z}+\frac{{{y}^{2}}}{z+2x}+\frac{{{z}^{2}}}{x+2y} \\ & =\frac{{{x}^{4}}}{{{x}^{2}}y+2z{{x}^{2}}}+\frac{{{y}^{4}}}{{{y}^{2}}z+2x{{y}^{2}}}+\frac{{{z}^{4}}}{{{z}^{2}}x+2y{{z}^{2}}} \\ & \ge \frac{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}y+{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}x+2\left( x{{y}^{2}}+y{{z}^{2}}+z{{x}^{2}} \right)}. \\ \end{aligned}$$
Ta có $$\begin{aligned} {{x}^{2}}y+{{y}^{2}}z+{{z}^{2}}x & \le \sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\cdot \left( {{x}^{2}}{{y}^{2}}+{{y}^{2}}{{z}^{2}}+{{z}^{2}}{{x}^{2}} \right)} \\ & \le \sqrt{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\cdot \frac{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}{3}} \\ & =\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\sqrt{\frac{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}{3}}. \\ \end{aligned}$$ Hoàn toàn tương tự, ta chứng minh được $$2\left( x{{y}^{2}}+y{{z}^{2}}+z{{x}^{2}} \right)\le 2\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\sqrt{\frac{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}{3}}.$$ Từ đó suy ra \[\begin{aligned} P & \ge \frac{{{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}^{2}}}{3\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)\sqrt{\dfrac{\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}} \right)}{3}}} \\ & =\sqrt{\frac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}{3}} \\ & \ge 1. \\ \end{aligned}\] Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1$ nên GTNN của $P$ là $1$
