Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{{{u}_{n}}+1}{2},\,\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?A.Dãy \(({{u}_{n}})\)là dãy giảm tới 1 khi \(n\to +\infty \).

phuonglinh290800

2 năm trước

Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=2 \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{{{u}_{n}}+1}{2},\,\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.Dãy \(({{u}_{n}})\)là dãy giảm tới 1 khi \(n\to +\infty \).
B.Dãy \(({{u}_{n}})\)là dãy tăng tới 1 khi \(n\to +\infty \).

C.Không tồn tại giới hạn của dãy \(({{u}_{n}})\).
D.Cả 3 đáp án trên đều sai.

Loga Hóa Học lớp 12

0 lượt thích 33 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

vuthuthuy

Đáp án đúng: A
Giải chi tiết:\(\begin{align} & {{u}_{2}}=\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}=\frac{{{2}^{1}}+1}{{{2}^{1}}} \\ & {{u}_{3}}=\frac{\frac{3}{2}+1}{2}=\frac{5}{4}=\frac{{{2}^{2}}+1}{{{2}^{2}}} \\ & {{u}_{4}}=\frac{\frac{5}{4}+1}{2}=\frac{9}{8}=\frac{{{2}^{3}}+1}{{{2}^{3}}} \\\end{align}\)
Chứng minh bằng quy nạp: \({{u}_{n+1}}=\frac{{{2}^{n}}+1}{{{2}^{n}}},\,\,\forall n=1;2;...\,\,\,\,(*)\):
* Với \(n=1\): \({{u}_{2}}=\dfrac{{{u}_{1}}+1}{2}=\dfrac{2+1}{2}=\dfrac{{{2}^{1}}+1}{{{2}^{1}}}\) : (*) đúng
* Giả sử (*) đúng với \(n = k - 1\), tức là \({u_k} = \dfrac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}}\) ta chứng minh (*) đúng với \(n = k\) , tức là cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)
Ta có : \({u_{k + 1}} = \dfrac{{{u_k} + 1}}{2} = \dfrac{{\dfrac{{{2^{k - 1}} + 1}}{{{2^{k - 1}}}} + 1}}{2}\)\( = \dfrac{{\dfrac{{{2^{k - 1}} + 1 + {2^{k - 1}}}}{{{2^{k - 1}}}}}}{2} = \dfrac{{{{2.2}^{k - 1}} + 1}}{{{2^k}}} = \dfrac{{{2^k} + 1}}{{{2^k}}}\)
Theo nguyên lý quy nạp, ta chứng minh được (*).
Như vậy, công thức tổng quát của dãy \(({{u}_{n}})\)là: \({{u}_{n}}=\dfrac{{{2}^{n-1}}+1}{{{2}^{n-1}}}=1+\frac{1}{{{2}^{n-1}}},\,\,\forall n=1;2;...\,\,\,\,(*)\)
Từ (*) ta có \({{u}_{n+1}}-{{u}_{n}}=1+\frac{1}{{{2}^{n}}}-\left( 1+\frac{1}{{{2}^{n-1}}} \right)=\frac{1}{{{2}^{n}}}-\frac{1}{{{2}^{n-1}}}<0\,\,\forall n=1,2,...\Rightarrow \left( {{u}_{n}} \right)\) là dãy giảm và \(\lim {{u}_{n}}=\lim \left( 1+\frac{1}{{{2}^{n-1}}} \right)=1\Rightarrow \)\(({{u}_{n}})\) là dãy giảm tới 1 khi \(n\to +\infty \)
Chọn A.

Vote (0) Phản hồi (0) 2 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Nước ta có nguồn tài nguyên sinh vật phong phú do
A. Nằm hoàn toàn trong miền nhiệt đới.
B.Lãnh thổ kéo dài 15 vĩ độ.
C. Vị trí tiếp giáp giữa các vành đai sinh khoáng của thế giới.
D.Vị trí nằm trên đường di lưu của các loài sinh vật.

Đặc điểm nào sau đây không đúng với dân cư, xã hội Trung Quốc?
A.Phát minh ra chữ viết 500 năm trước công nguyên.
B.Người dân có truyền thống lao động cần cù, sáng tạo.
C. Chú ý đầu tư phát triển giáo dục.
D.Có ít dân tộc.

Đặc điểm nào không phải là của Đồng bằng sông Hồng?
A.Vùng đất ngoài đê hàng năm được phù sa bồi đắp.
B.Địa hình cao và phân bậc
C. Có các ô trũng, ngập nước trong mùa mưa.
D.Có hệ thống đê ven các con sông.

Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Phát biểu nào sau đây là SAI?
A.Lực tác dụng của lò xo vào giá đỡ luôn bằng hợp lực tác dụng vào vật.
B. Khi lực tác dụng vào giá đỡ có độ lớn cực đại thì hợp lực tác dụng lên vật cũng có độ lớn cực đại.
C.Hợp lực tác dụng vào vật bị triệt tiêu khi vật đi qua vị trí cân bằng
D.Lực tác dụng của lò xo vào vật bị triệt tiêu khi vật đi qua vị trí lò xo không biến dạng

Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=1 \\ & {{u}_{n+1}}=\sqrt{{{u}_{n}}\left( {{u}_{n}}+1 \right)\left( {{u}_{n}}+2 \right)\left( {{u}_{n}}+3 \right)+1},\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Đặt \({{v}_{n}}=\sum\limits_{i=1}^{n}{\frac{1}{{{u}_{i}}+2}}\). Tính \(\lim {{v}_{n}}\)bằng?
A.\(+\infty .\)
B. \(0.\)
C. \(\frac{1}{2}.\)
D.\(1.\)

Nhận xét đúng nhất về tự do lưu thông ở thị trường chung châu Âu là:
A.Tiền vốn, con người, dịch vụ
B.Con người, hàng hóa, cư trú.
C.Dịch vụ, hàng hóa, tiền vốn, con người.
D.Dịch vụ, tiền vốn, chọn nơi làm việc.

Ở nước ta, mùa đông bớt lạnh khô, mùa hè bớt nóng bức là do
A.Địa hình 85% là đồi núi thấp.
B.Khí hậu chịu ảnh hưởng của biển Đông.
C.Nước ta chịu tác động thường xuyên của Tín phong Bắc bán cầu.
D.Nước ta nằm gần Xích đạo, mưa nhiều.

Cho dãy số \(({{u}_{n}})\)xác định bởi \(\left\{ \begin{align} & u_{1}=\frac{1}{2} \\ & {{u}_{n+1}}=\frac{1}{2-{{u}_{n}}},\,\,\left( n\ge 1 \right) \end{align} \right.\,\,\). Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.Dãy \(({{u}_{n}})\)là dãy giảm tới 1 khi \(n\to +\infty \).
B.Dãy \(({{u}_{n}})\)là dãy tăng tới 1 khi \(n\to +\infty \).
C. Không tồn tại giới hạn của dãy \(({{u}_{n}})\).
D. Cả 3 đáp án trên đều sai.

Chất nào dưới đây không phản ứng với axit axetic
A.Cu(OH)2.
B.K2O.
C.NaHCO3.
D.NaCl.

Cho \({{u}_{n}}=\frac{1-4n}{5n}\). Khi đó \(\lim {{u}_{n}}\)bằng?
A.\(\frac{1}{5}.\)
B.\(-\frac{4}{5}.\)
C. \(\frac{4}{5}.\)
D. \(-\frac{1}{5}.\)

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến