Giải thích các bước giải:
a,
MN là đường trung bình trong tam giác ABC nên \(\left\{ \begin{array}{l}
MN//BC\\
MN = \frac{1}{2}BC
\end{array} \right.\)
Tứ giác BCNM có NM//BC nên BCNM là hình thang
Do tam giác ABC cân tại A nên \(AB = AC \Rightarrow BM = CN\)
Do đó BCNM là hình thang cân.
b,
Tứ giác APCD có 2 đường chéo PD và AC cắt nhau tại trung điểm N của mỗi đường nên APCD là hình bình hành
Tam giác ABC cân tại A nên AP vừa là trung tuyến, vừa là đường cao
Do đó APCD là hình chữ nhật.
c,
APCD là hình chữ nhật nên \(\left\{ \begin{array}{l}
AD//PC\\
AD = PC
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AD//BC\\
AD = \frac{1}{2}BC
\end{array} \right.\)
\(AD//BC \Rightarrow \frac{{AD}}{{BC}} = \frac{{DG}}{{GB}} \Rightarrow \frac{{DG}}{{GB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow DG = \frac{1}{3}BD\)
d,
ADPB là hình bình hành nên O là trung điểm AP
ON là đường trung bình trong tam giác APC nên ON//PC hay ON vuông góc với AP
Tứ giác ONEP có 3 góc vuông nên ONEP là hình chữ nhâtj.
Đế ONEP là hình vuông thì \(OP = PE \Rightarrow \frac{1}{2}AP = \frac{1}{4}BC \Leftrightarrow AP = \frac{1}{2}BC\)
Tam giác ABC có trung tuyến \(AP = \frac{1}{2}BC\) nên tam giác ABC vuông tại A
Ta có:
\[\begin{array}{l}
PN = 2\sqrt 2 \Rightarrow OP = PE = 2\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
AP = 4\\
BC = 8
\end{array} \right. \Rightarrow {S_{ABC}} = \frac{1}{2}AP.BC = 16\left( {c{m^2}} \right)
\end{array}\]
