Cho x,y,z > 0 có xy+yz+xz = 3xyz CMR : $\dfrac{x^3}{x^2+z}+\dfrac{y^3}{y^2+x}+\dfrac{z^3}{z^2+y}\ge\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)$

hoangnhat3507

5 năm trước

Loga Toán lớp 10

0 lượt thích 339 xem

1 trả lời

Thích Trả lời

Loga2701

Lời giải:

Ta có: $xy+yz+xz=3xyz\Rightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=3$

Mà theo BĐT Cauchy-Schwarz: $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{9}{x+y+z}$

Do đó: $3\geq \frac{9}{x+y+z}\Rightarrow x+y+z\geq 3$

==-

Ta có: $\text{VT}=x-\frac{xz}{x^2+z}+y-\frac{xy}{y^2+x}+z-\frac{yz}{z^2+y}$

$=(x+y+z)-\left(\frac{xy}{y^2+x}+\frac{yz}{z^2+y}+\frac{xz}{x^2+z}\right)$

$\geq x+y+z-\frac{1}{2}\left(\frac{xy}{\sqrt{xy^2}}+\frac{yz}{\sqrt{z^2y}}+\frac{xz}{\sqrt{x^2z}}\right)$ (AM-GM)

$=x+y+z-\frac{1}{2}(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z})$

Tiếp tục AM-GM: $\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\leq \frac{x+1}{2}+\frac{y+1}{2}+\frac{z+1}{2}=\frac{x+y+z+3}{2}$

Suy ra:

$\text{VT}\geq x+y+z-\frac{1}{2}.\frac{x+y+z+3}{2}=\frac{3}{4}(x+y+z)-\frac{3}{4}$

$\geq \frac{9}{4}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)$

Ta có đpcm

Dấu bằng xảy ra khi $x=y=z=1$

Vote (0) Phản hồi (0) 5 năm trước

Các câu hỏi liên quan

Tính giá trị của các biểu thức sau

1) $A=1+2+2^2+...+2^{2015}$

2) $B=\left(\dfrac{1}{4}-1\right)\cdot\left(\dfrac{1}{9}-1\right)\cdot\left(\dfrac{1}{16}-1\right)\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\left(\dfrac{1}{400}-1\right)$

3) $C=\left(\dfrac{1}{4\cdot9}+\dfrac{1}{9\cdot14}+\dfrac{1}{14\cdot19}+...+\dfrac{1}{44\cdot49}\right)\cdot\dfrac{1-3-5-7-...-49}{89}$

4) $D=\dfrac{2^{12}\cdot3^5-4^6\cdot9^2}{\left(2^2\cdot3\right)^6+8^4\cdot3^5}-\dfrac{5^{10}\cdot7^3-25^5\cdot49^2}{\left(125\cdot7\right)^3+5^9\cdot14^3}$

5) $E=\dfrac{\dfrac{1}{2003}+\dfrac{1}{2004}-\dfrac{1}{2005}}{\dfrac{5}{2003}+\dfrac{5}{2004}-\dfrac{5}{2005}}-\dfrac{\dfrac{2}{2002}+\dfrac{2}{2003}-\dfrac{2}{2004}}{\dfrac{3}{2002}+\dfrac{3}{2003}-\dfrac{3}{2004}}$

6) Cho 13+23+...+103=3025

Tính S= 23+43+63+...+203

1. Dùng bao nhiêu chữ số để ghi các số tự nhiên từ 25 đền 1000.

2. Tìm x , biết x thuộc N :

( x - 34 ) . 15 = 0 .

3. Phép cộng có bao nhiêu tính chất , phép nhân có bao nhiêu tính chất ?

4. Tím các số tự nhiên a và b , biết rằng :

a.b = 36 và a > b .

x2-2(m-2)x +2m-8=0 (1). tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :P=(x1-x2)2 . trong đó x1,x2 là 2 nghiệm của phương trình

GIẢI DÙM MK VS ^^ BÒ SỮA ^^

Cho a,b,c > 0 thỏa mãn a + b + c = 1

CMR: $\dfrac{1}{a^2+b^2+c^2}+\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\ge30$

CMR

3$^{n+2}$ + 3$^{n+1}$ + 2$^{n+3}$ + 2$^{n+2}$ $⋮$ 6

Cho tam giác ABC có góc C=90,BC=3cm,CA=4cm.Tia phân giác BK của góc ABC{K thuộc CA};từ K kẻ KE vuông góc AB tại E .

Chứng minh

a. tia bc cắt EK tại M.So sánh KM và KE

bCE song song MA

giúp mk với mk đg cần gấp

Gọi S là diện tích tam giác ABC.Cmr:

a)$S=2R^2\sin A\sin B\sin C$

b)$c^2=\left(a-b\right)^2+4S\dfrac{1-cosC}{sinC}$(với a,b,c lần lượt là các cạnh đối với các góc A,B,C)

c)$S=Rr\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)$(R,r lần lượt là bàn kính đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp tam giác ABC)

d)$S=p\left(p-a\right)\tan\dfrac{A}{2}$

Cho hàm số y=(m+1)x^2có đồ thị (P)

a)tìm m để hàm số đồng biến khi x>0

b) với m=-2 .tìmtọa độ giao điểm của (P) voi duong thẳng (d):y=2x-3

c) tìm m để( P)tiep xúc vs(d) =2x-3 .tìm tọa độ tiep diem

cho mình hỏi nhé về bài tính tổng

tính tổng

a, S = 12+14+...+1002

b,S = 15+16+...+1001

c,S = 3+5+7+...+2003

Nếu ai trả lời đúng sẽ đc 5 tick

Cho các số dương x,y thỏa mãn $x^2+y^2+\frac{1}{xy}=3$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

P=$2(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2})-\frac{3}{1+2xy}$

@Akai Haruma

Loga.vn - Cộng Đồng Luyện Thi Trực Tuyến